Esercizio 12 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 12   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4+x^5+y^5}{x^4+y^4 + x^6y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Notiamo che il denominatore è non negativo, infatti è dato dalla somma di 3 quantità non negative e che si annullano solo in (0,0). Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^3y^4+x^5+y^5}{x^4+y^4 + x^6y^4}.
Provando le restrizioni y=0, x = 0 o la generica retta y=mx, si nota che (1) converge a 0. Proviamo a dimostrare in generale che (1) converge a 0, passando in coordinate polari; la funzione f diventa

    \[f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)=\tilde{f}(\rho,\theta)=\frac{\rho^{3}\cos^3(\theta) \rho^{4}\sin^4(\theta) + \rho^5\cos^5(\theta) +\rho^5\sin^5(\theta)}{\rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{6}\cos^6(\theta)\rho^4\sin^4(\theta)}.\]

Ricordando che \left \vert \cos \theta \right \vert \leq 1 e |\sin\theta| \leq 1 (e questo vale anche per le loro potenze positive), abbiamo

    \[\begin{aligned} \left|\tilde{f}(\rho,\theta)\right| = {} &\left \vert \frac{\rho^{3} \cos^3(\theta) \rho^{4}\sin^4(\theta) + \rho^5\cos^5(\theta) +\rho^5\sin^5(\theta)}{\rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{6}\cos^6(\theta)\rho^4\sin^4(\theta)} \right \vert = \frac{\left \vert \rho^{7} \cos^3(\theta) \sin^4(\theta) + \rho^5\cos^5(\theta) +\rho^5\sin^5(\theta)\right \vert}{\rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{10}\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} \leq \\[10pt] \le {} & \frac{\rho^{7}\left \vert\cos^3(\theta)\right \vert \sin^4(\theta) + \rho^5 \left \vert\cos^5(\theta) +\sin^5(\theta)\right \vert}{\rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{10}\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} \le %+ \frac{ \rho^5 \left \vert\cos^5(\theta) +\sin^5(\theta)\right \vert}{ \rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{10}\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} \leq \\[10pt] \frac{\rho^{7} + 2 \rho^5}{\rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{10}\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} = \\[10pt] %+ \frac{2 \rho^5 }{\rho^4\cos^4(\theta) + \rho^4\sin^4(\theta) + \rho^{10}\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)}=\\[10pt] % = {} & \frac{\rho^{3} + 2 \rho}{\cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) + \rho^6\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} = %+ \frac{2 \rho }{ \cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) + \rho^6\cos^6(\theta)\sin^4(\theta) } =\\[10pt] = {} &\frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{\cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) + \rho^6\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} \le % = {} &\frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ \cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) + \rho^6\cos^6(\theta)\sin^4(\theta)} \leq \frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ \cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) }. \end{aligned}\]

Sia g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} tale che g(\theta)=\cos^4\theta+\sin^4\theta, vogliamo calcolare il minimo di g per poter trovare un’opportuna maggiorazione.
Deriviamo g, ottenendo

    \[\begin{aligned} g^\prime(\theta)&=-4\cos^3\theta\sin\theta+4\sin^3\theta\cos\theta=4\cos\theta\sin\theta\left( -\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)=\\\\ &=-2\sin\left(2\theta\right)\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)=-2\sin\left(2\theta\right)\cos\left(2\theta\right)=-\sin\left(4\theta\right). \end{aligned}\]

Si osserva che g^\prime ha periodo T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2} e che è negativa negli intervalli k\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, con k\in\mathbb{Z}, e dunque \min g=g\left(\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos^4\left(\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin^4\left(\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.
Abbiamo dunque [1]

    \[\frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ \cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) }\leq \frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ 1/2 }=2\rho\left(\rho^2+2\right).\]

Dato che

    \[\lim_{\rho \to 0^+}2\rho\left(\rho^2+2\right)=0,\]

per il teorema del confronto si ha

    \[\lim_{\rho \to 0^+}\tilde{f}(\rho,\theta)=0,\]

e quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4+x^5+y^5}{x^4+y^4 + x^6y^4}=0.}\]

 

Si osservi che in realtà non è necessario calcolare esplicitamente il minimo di g. Infatti si noti che la funzione \cos^4 \theta +\sin^4 \theta è strettamente positiva, perché è somma di due quantità non negative e potrebbe essere nulla solo se simultaneamente \cos^4\theta= \sin^4\theta= 0, cioè \sin\theta = \cos\theta = 0, che però non è mai verificato. Essendo continua, il suo minimo sull’intervallo [0,2\pi] deve essere strettamente positivo. Pertanto

    \[m \coloneqq \min\{\cos^4 \theta +\sin^4 \theta \} > 0.\]

Dato che m > 0, si ha

    \[\frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ \cos^4(\theta) + \sin^4(\theta) }\leq \frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ m },\quad \forall \theta \in [0,2\pi].\]

Inoltre, vale

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+} \frac{\rho\left(\rho^2+2\right) }{ m } = 0.\]

Quindi, per il teorema del confronto, concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4+x^5+y^5}{x^4+y^4 + x^6y^4}=0.}\]

 

1. Più semplicemente, per calcolare il minimo di g si poteva applicare il seguente risultato: per qualunque \theta\in\mathbb{R} e qualunque n\in\mathbb{N}, si ha

    \[\boxcolorato{analisi}{\min_{\theta\in\mathbb{R}}\left\{\cos^{2n}(\theta)+\sin^{2n}(\theta)\right\}= \frac{1}{2^{n-1}}.}\]

Ponendo n=2, si trova \min g=\frac{1}{2^{2-1}}=\dfrac{1}{2}, come ottenuto calcolando esplicitamente la derivata di g.