Esercizio 11 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 11   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{2} y^{5}}{x^6 + y^8}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^{2} y^{5}}{x^6 + y^8}.
Proviamo le ovvie restrizioni y=0, x = 0 o la generica retta y=mx, e osserviamo che lungo queste curve (1) converge a 0. Proviamo ad uguagliare i gradi di x e y al denominatore tramite la sostituzione x^6 = y^8 (per x,y > 0) o, in altri termini, x = y^{8/6} = y^{4/3}, da cui ricaviamo x^2 = y ^{8/3}.

Sostituendo in f abbiamo

    \[f(y^{4/3},y) = \frac{y^\frac{8}{3} \cdot{y^5}}{2 y^8} = \frac{1}{2}y^{ \frac{8 + 15 -24}{3}} = \frac{1}{2y^\frac{1}{3}}\]

e l’ultima quantità tende a +\infty quando y\rightarrow0^+, contraddicendo l’unicità del limite al variare delle restrizioni del dominio, e dunque dimostrando che il limite non esiste.

 

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