Esercizio 10 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 10   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{5} y^{2}}{x^6 + y^8 }. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^{5} y^{2}}{x^6 + y^8 }.
Proviamo le classiche e semplici restrizioni x=0, y=0, osservando che (1) converge a 0. Proviamo a dimostrare che effettivamente sia quello il valore di (1).
Utilizziamo la disuguaglianza di Young [1] con p=5/4 e q= 5; la motivazione di questa scelta sarà chiarita dai conti, infatti:

    \[0 \leq \bigg \lvert \frac{x^{5} y^{2}}{x^6 + y^8 } \bigg \rvert \leq \frac{4 (\left \vert x^{5}\right \vert )^{\frac{5}{4}}}{5 (x^6 + y^8)} + \frac{(y^{2})^{5}}{5 (x^6 + y^8) } ,\]

dove abbiamo usato |x^5 y^2| \leq \dfrac{(x^5)^p}{p} + \dfrac{(y^2)^q}{q}.
Per concludere osserviamo che

    \[\frac{4 (\left \vert x^{5}\right \vert )^{\frac{5}{4}}}{5 (x^6 + y^8)} + \frac{(y^{2})^{5}}{5 (x^6 + y^8) } \leq \frac{4 (\left \vert x^{5}\right \vert )^{\frac{5}{4}}}{5 x^6} + \frac{(y^{2})^{5}}{5 y^8 } =\dfrac{4}{5} \left \vert x\right\vert^{\frac{1}{4}}+\dfrac{1}{5}y^2,\]

dove gli ultimi due addendi convergono entrambi a zero per (x,y)\rightarrow (0,0).
Utilizzando il teorema dei carabinieri abbiamo quindi dimostrato che

    \[\lim_{(x,y) \to (0, 0)}\; \bigg \lvert \frac{x^{5} y^{2}}{x^6 + y^8} \bigg \lvert = 0,\]

concludendo quindi che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{5} y^{2}}{x^6 + y^8}=0.}\]

 

1. Disuguaglianza di Young: se p,q>1 sono tali che \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 allora per ogni a,b\in \mathbb{R} si ha

    \[|ab| \leq \frac{|a|^p}{p} + \frac{|b|^q}{q}.\]

 

 

Fonte: clicca qui.