Esercizio 9 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 9   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x + y}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, y\neq-x\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^{100} y^{100}}{x + y}.
Proviamo le restrizioni x=0 e y=0, e osserviamo che (1) converge a 0. L’insieme di definizione di f ci fa sospettare che gli eventuali problemi di esistenza del limite appaiono per curve molto vicine al grafico di y=x. Per x>0 consideriamo la curva y= - x + x^\alpha, con \alpha>1, ottenendo

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} \;\frac{x^{100} (-x + x^\alpha)^{100}}{x + (-x + x^\alpha)}= \lim_{x \to 0^+} \; \frac{x^{100}\cdot x^{100}\left( 1+o\left( 1\right) \right)}{ x^\alpha}=\lim_{x \to 0^+} x^{200-\alpha}. \end{equation*}

Osserviamo che (2) converge a 0 se e solo se 1<\alpha < 200, mentre se \alpha=200 allora (2) converge a 1, ed è illimitato per \alpha >0.
Questo è sufficiente per concludere che (1) non esiste, in quanto abbiamo individuato percorsi che conducono a limiti diversi, violando così il teorema di unicità del limite.

 

Fonte: clicca qui.