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Limiti in due variabili – Esercizio 9

Limiti in due variabili

Home » Limiti in due variabili – Esercizio 9

In questo nono articolo della raccolta Esercizi sui limiti in due variabili presentiamo il calcolo di un limite di una funzione di due variabili. Segnaliamo anche il precedente Limiti in due variabili – Esercizio 8 e il successivo Limiti in due variabili – Esercizio 10 per ulteriore materiale sul medesimo argomento.

 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x + y}. \end{equation*}

 

Richiami teorici.

Consigliamo la teoria reperibile nella cartella teoria sulle funzioni in più variabili.

Svolgimento.

Sia f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, y\neq-x\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^{100} y^{100}}{x + y}. Proviamo le restrizioni x=0 e y=0, e osserviamo che (1) converge a 0. L’insieme di definizione di f ci fa sospettare che gli eventuali problemi di esistenza del limite appaiono per curve molto vicine al grafico di y=x. Per x>0 consideriamo la curva y= - x + x^\alpha, con \alpha>1, ottenendo

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} \;\frac{x^{100} (-x + x^\alpha)^{100}}{x + (-x + x^\alpha)}= \lim_{x \to 0^+} \; \frac{x^{100}\cdot x^{100}\left( 1+o\left( 1\right) \right)}{ x^\alpha}=\lim_{x \to 0^+} x^{200-\alpha}. \end{equation*}

Osserviamo che (2) converge a 0 se e solo se 1<\alpha < 200, mentre se \alpha=200 allora (2) converge a 1, ed è illimitato per \alpha >0. Questo è sufficiente per concludere che (1) non esiste, in quanto abbiamo individuato percorsi che conducono a limiti diversi, violando così il teorema di unicità del limite.

Fonte.

Problemisvolti.it

 
 

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    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
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    4. Sistemi di PDE
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    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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