. Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento 1. Proviamo le ovvie restrizioni 
, 
o la generica retta 
, trovando che (1) converge a 
. Ciò ci fa pensare che effettivamente (1) possa essere zero. D’altra parte, tramite la disuguaglianza 
e dato che 
si trova al denominatore, abbiamo
![\[\frac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2 } \leq \frac{x^{100} y^{100}}{x^2} = x^{98} y^{100},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14fb462aa1fd23a1f15bd25e92723236_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[\lim_{(x,y) \to (0, 0)} x^{98} y^{100} =0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-734c9f83f12def3d7cdf522787ee5399_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi per il teorema dei carabinieri
![\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2}=0 .\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d66adda8c56a0e9e9daaf135a071695_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pertanto concludiamo che
![\[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2}=0.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63e3d568f5caa6578d739c010933cdcd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento 2. Osserviamo che al denominatore di 
è presente quindi ci viene naturale provare a risolvere questo limite passando in coordinate polari. La funzione diventa dunque:
![\[\begin{aligned} f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta) = \tilde{f}(\rho ,\theta) & = \dfrac{\rho^{100} \cos^{100}(\theta) \cdot \rho^ {100} \sin^{100}(\theta)}{\rho^2} =\\ & = \rho^{198} \cdot \cos^{100}(\theta) \sin^{100}(\theta). \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c2d040426d175bf166b815dc818e369_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Osserviamo che
![\[0 \le \rho^{198} \cos^{100}(\theta) \cdot \sin^{100}(\theta)\leq \rho^{198},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af0a26e24752a7db641b8187ca28ed80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quest’ultima quantità tende a quando 
.\\
Utilizzando il teorema dei carabinieri abbiamo quindi dimostrato che
![\[\lim_{(x,y) \to (0, 0)}\; \bigg \lvert \frac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2} \bigg \lvert = 0 .\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef2050189612fab7537d594cb7718c99_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pertanto concludiamo che
![\[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^6 + y^6}=0.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea1d6e6f8418048699092a8983c20551_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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