Esercizio 8 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento 1. Proviamo le ovvie restrizioni x=0, y = 0 o la generica retta y=mx, trovando che (1) converge a 0. Ciò ci fa pensare che effettivamente (1) possa essere zero. D’altra parte, tramite la disuguaglianza x^2 + y^2 \geq x^2 e dato che x^2 + y^2 si trova al denominatore, abbiamo

    \[\frac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2 } \leq \frac{x^{100} y^{100}}{x^2} = x^{98} y^{100},\]

da cui

    \[\lim_{(x,y) \to (0, 0)} x^{98} y^{100} =0,\]

quindi per il teorema dei carabinieri

    \[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2}=0 .\]

Pertanto concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2}=0.}\]

 

Svolgimento 2. Osserviamo che al denominatore di f è presente x^2 + y^2 quindi ci viene naturale provare a risolvere questo limite passando in coordinate polari. La funzione f diventa dunque:

    \[\begin{aligned} f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta) = \tilde{f}(\rho ,\theta) & = \dfrac{\rho^{100} \cos^{100}(\theta) \cdot \rho^ {100} \sin^{100}(\theta)}{\rho^2} =\\ & = \rho^{198} \cdot \cos^{100}(\theta) \sin^{100}(\theta). \end{aligned}\]

Osserviamo che

    \[0 \le \rho^{198} \cos^{100}(\theta) \cdot \sin^{100}(\theta)\leq \rho^{198},\]

e quest’ultima quantità tende a 0 quando \rho \to 0^+.\\
Utilizzando il teorema dei carabinieri abbiamo quindi dimostrato che

    \[\lim_{(x,y) \to (0, 0)}\; \bigg \lvert \frac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2} \bigg \lvert = 0 .\]

Pertanto concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^6 + y^6}=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.