Esercizio 13 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

Home » Esercizio 13 limiti in due variabili
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 13   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4}{x^6+y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^3y^4}{x^6+y^6}.
Provando le restrizioni y=0, x = 0 o la generica retta y=mx, possiamo osservare che (1) converge a 0 lungo queste curve. Ci viene quindi il sospetto che il limite sia effettivamente 0; proviamo a dimostrarlo. Osserviamo che

    \[\left(\left\vert x\right \vert ^3-\left \vert y\right \vert^3\right)^2\geq 0 \quad \Leftrightarrow\quad x^6+y^6\geq 2\left \vert x\right \vert^3\left \vert y\right \vert^3\]

e dato che x^6 + y^6 si trova al denominatore abbiamo

    \[0 \leq \bigg \lvert \frac{x^3 y^4}{x^6 + y^6} \bigg \lvert \leq \bigg\lvert \frac{x^3 y^4}{2 x^3 y^3} \bigg\lvert = \bigg\lvert \frac{y}{2} \bigg\lvert,\]

e inoltre

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\,\bigg\lvert \frac{y}{2} \bigg\lvert=0.\]

Utilizzando il teorema del confronto (o teorema dei carabinieri) abbiamo dimostrato che

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\, \bigg \lvert \frac{x^3 y^4}{x^6 + y^6} \bigg\lvert=0 .\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4}{x^6+y^6}=0. }\]

 

 

Fonte: clicca qui.