Esercizio 14 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 14   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2y^7}{x^8+y^8}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^2y^7}{x^8+y^8}.
Proviamo le ovvie restrizioni y=0, x = 0 o la generica retta y=mx e osserviamo che lungo queste direzioni (1) converge a 0. Proviamo ad utilizzare la disuguaglianza di Young [1] con p=9/2 e q= 9/7. Abbiamo dunque

    \[\begin{aligned} \left \vert x^2 y^7 \right\vert \leq \frac{(x^2)^p}{p} + \frac{(y^7)^q}{q} & \quad \Leftrightarrow \quad \left\vert x^2 y^7\right\vert \leq \dfrac{(x^2)^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} + \dfrac{(y^7)^{\frac{9}{7}}}{\frac{9}{7}} \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad\left\vert x^2 y^7\right\vert \leq \dfrac{2(x^2)^{\frac{9}{2}}}{9} + \dfrac{7(y^7)^{\frac{9}{7}}}{9}. \end{aligned}\]

Applicando la diseguaglianza triangolare si ha

    \[\bigg \lvert \dfrac{x^{2} y^{7}}{x^8 + y^8 } \bigg \rvert \leq \left \vert\frac{\frac{2(x^2)^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{7(y^7)^{\frac{9}{7}}}{9}}{x^8+y^8} \right \vert=\left \vert \dfrac{2(x^2)^{\frac{9}{2}}}{9(x^8+y^8)}+\dfrac{7(y^7)^{\frac{9}{7}}}{9(x^8+y^8)}\right \vert \leq \bigg \lvert \dfrac{2 (x^{2})^{\frac{9}{2}}}{9 (x^8 + y^8)} \bigg \lvert + \bigg \lvert \frac{7 (y^{7})^{\frac{9}{7}}}{9 (x^8 + y^8) } \bigg \lvert .\]

Per concludere osserviamo che

    \[\bigg \lvert \frac{2 (x^{2})^{\frac{9}{2}}}{9 (x^8 + y^8)} \bigg \lvert + \bigg \lvert \frac{7 (y^{7})^{\frac{9}{7}}}{9 (x^8 + y^8) } \bigg \lvert \leq \bigg \lvert \frac{2 (x^{2})^{\frac{9}{2}}}{9 x^8 } \bigg \lvert + \bigg \lvert \frac{7 (y^{7})^{\frac{9}{7}}}{9 y^8 } \bigg \lvert = \frac{2}{9} |x| + \frac{7}{9} |y|\]

da cui

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\left( \frac{2}{9} |x| + \frac{7}{9} |y|\right) =0.\]

Utilizzando il teorema dei carabinieri abbiamo quindi dimostrato che

    \[\lim_{(x,y) \to (0, 0)}\; \bigg \lvert \frac{x^{2} y^{7}}{x^8 + y^8} \bigg \lvert = 0 .\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2y^7}{x^8+y^8}=0.}\]

 

1. Disuguaglianza di Young: se p,q>1 sono tali che \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1, allora per ogni a,b\in \mathbb{R} si ha

    \[\boxcolorato{analisi}{|ab| \leq \frac{|a|^p}{p} + \frac{|b|^q}{q}.}\]

 

Fonte: clicca qui.