Esercizio 15 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

Home » Esercizio 15 limiti in due variabili
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 15   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^2}{x^2+y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^4+y^2}{x^2+y^4}.
Se proviamo le semplici restrizioni x=0 e y=0 non otteniamo sempre 0; infatti sostituendo y=0 in f abbiamo

    \[f(x,0) = \dfrac{x^{4} }{x^2} = x^2,\]

per cui 1 diventa

    \[\lim_{x\to 0} \;x^2=0.\]

Sostituendo x = 0 in f, abbiamo

    \[f(0,y)=\dfrac{y^2}{y^4}=\dfrac{1}{y^2},\]

e quindi (1) diventa

    \[\lim_{y \rightarrow 0}\dfrac{1}{y^2}=+\infty.\]

Come anticipato, abbiamo trovato due restrizioni che danno due valori differenti di (1) contraddicendo così l’unicità del limite al variare delle restrizioni del dominio e dunque dimostrando che il limite non può esistere.

 

Fonte: clicca qui.