Esercizio 16 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 16   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Osserviamo che il denominatore è una quantità non negativa e si annulla solo in (0,0):

    \[x^2+y^2+xy=x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0,\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.\]

Sia f:\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}.\]

Proviamo la semplice restrizione x=0 ottenendo

    \[f(0,y)=\dfrac{y^4}{y^2}=y^2\]

da cui

    \[\lim_{y\rightarrow 0}=y^2=0.\]

Ora proviamo la restrizione y=0 ottenendo

    \[f(x,0)=\dfrac{x^4}{x^2}=x^2\]

da cui

    \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2=0.\]

Abbiamo ottenuto, con entrambe le restrizioni, il risultato è zero e questo ci fa pensare che effettivamente (1) possa convergere a zero.
Proviamo a dimostrare quanto detto.

Poiché

    \[|xy|\leq \frac{x^2+y^2}{2},\]

abbiamo

    \[x^2+xy+y^2=\underbrace{\dfrac{x^2+y^2}{2}}_{\geq \left \vert xy\right \vert}+\dfrac{x^2+y^2}{2}+xy \geq\dfrac{x^2+y^2}{2}+\underbrace{xy+\left \vert xy\right \vert}_{\geq 0}\geq \dfrac{x^2+y^2}{2}.\]

Effettuando il passaggio in coordinate polari ne deduciamo

    \[\left|\frac{x^4+y^4}{x^2+xy+y^2}\right| \leq \dfrac{2\left(x^4+y^4\right)}{x^2+y^2}\leq \rho^2\cdot \frac{\cos^4\theta+\sin^4\theta}{\frac{1}{2}}\leq \rho^2\cdot\frac{1+1}{\frac{1}{2}}=4\rho^2\]

e ciò comporta che il limite cercato è 0.
Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.