Esercizio 42 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 42   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{\ln\left(1+x^5+y^5\right)}{\ln\left(1+x^3+y^3\right)}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia

    \[f:\Omega=\{(x,y) \; \vert\; \mathbb{R}^2:\,x^5+y^5+1>0,\,x^3+y^3+1>0,\,y\neq -x\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{\ln\left(1+x^5+y^5\right)}{\ln\left(1+x^3+y^3\right)}.\]

Riscriviamo f come segue

    \[f(x,y)=\left(\dfrac{\ln\left(1+x^5+y^5\right)}{x^5+y^5}\right)\left(\dfrac{x^3+y^3}{\ln\left(1+x^3+y^3\right)}\right)\left(\dfrac{x^5+y^5}{x^3+y^3}\right),\]

da cui[1]

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\,f(x,y)= \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\,\dfrac{x^5+y^5}{x^3+y^3}.\]

Sia g:\tilde{\Omega}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,\,y\neq-x\}\rightarrow \mathbb{R} tale che g(x,y)=\dfrac{x^5+y^5}{x^3+y^3}.
Passando in coordinate polari[2], otteniamo

    \[g(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta )=\tilde{g}\left(\rho ,\theta\right)=\dfrac{\rho^5\left(\cos^5\theta+\sin^5\theta\right)}{\rho^3\left(\cos^3\theta+\sin^3\theta\right)}=\rho^2\left(\frac{\cos^5\theta+\sin^5\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\right).\]

Si può dimostrare che [3]:

    \[\max_{\theta\in[0,2\pi)\setminus\{\frac{3}{4}\pi,\,\frac{7}{4}\pi\}} \left\{\frac{\cos^5\theta+\sin^5\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\right\}=1,\]

abbiamo

    \[0\leq \left \vert \tilde{g}\left(\rho ,\theta\right)\right \vert \leq \rho^2,\]

dove

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+} \rho^2=0.\]

Pertanto concludiamo che [4], per il teorema del confronto:

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{\ln\left(1+x^5+y^5\right)}{\ln\left(1+x^3+y^3\right)}=0.}\]

 

 

1. Si ricorda il limite notevole \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1.

2. Coordinate polari.

    \[\begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ \hspace{3.5cm} \rho\ge0,\theta\in[0,2\pi) \\ y=\rho \sin \theta. \end{cases}\]

3. Si può procedere come nell’esercizio 40: clicca qui.

 

4. Siano f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \ell \in \mathbb{R} e (x_0, y_0) un punto di accumulazione per \Omega. Se esistono R > 0 e una funzione h:(0,R) \to \mathbb{R} tali che:

    \[\left\vert f\left(x_0 + \rho \cos\left(\theta\right), y_0 + \rho \sin\left(\theta\right)\right) - \ell\right\vert \leq h\left(\rho\right) \quad \forall\theta \in [0,2\pi),\ \rho \in (0,R)\]

e

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+}h(\rho)=0,\]

allora si ha:

    \[\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = \ell.\]

 

 

Fonte: clicca qui.