Esercizio 43 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 43  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2} . \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2} .
Posto x^2+y^2=t, il limite proposto diventa

(2)   \begin{equation*} \lim_{t \rightarrow 0^+}\,\dfrac{t^t-1}{t}, \end{equation*}

e possiamo riscrivere

    \[t^t=e^{t\ln t}=1+t\ln t +o\left(t \ln t \right) \quad \text{per}\,\, t\rightarrow 0^+,\]

da cui

    \[\lim_{t \rightarrow 0^+}\,\dfrac{t^t-1}{t}=\lim_{t \rightarrow 0^+}\,\dfrac{t\ln t +o\left(t \ln t\right)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0^+}\,\ln t \left(1+o\left(1\right)\right)=-\infty.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}=-\infty.}\]

 

Fonte: clicca qui.