Esercizio 44 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 44   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^8+y^8}{x^2y^2+x^{16}+y^{16}} . \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^8+y^8}{x^2y^2+x^{16}+y^{16}}.
Proviamo la restrizione x=0, ottenendo

    \[f(0,y)=\dfrac{1}{y^8},\]

da cui

    \[\lim_{y \rightarrow 0}f(0,y)=\lim_{y \rightarrow 0}\dfrac{1}{y^8}=+\infty.\]

Proviamo ora la restrizione y=x^3. Abbiamo dunque

    \[f(x,x^3)=\dfrac{x^8+x^{24}}{x^8+x^{16}+x^{48}}=1+o\left(1\right)\quad \text{per}\,\, x \rightarrow 0,\]

quindi (1) converge a 1.
Abbiamo trovato due restrizioni di f che hanno limite diverso per (x,y) \to (0,0), violando così il teorema di unicità del limite e quindi (1) non esiste.

 

Fonte: clicca qui.