. Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento. Sia 
tale che 
Proviamo la restrizione 
, ottenendo
![\[f(0,y)=\dfrac{1}{y^8},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-523bcadae1590027e83b5087187331a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[\lim_{y \rightarrow 0}f(0,y)=\lim_{y \rightarrow 0}\dfrac{1}{y^8}=+\infty.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2dd327e78f6fed5331608acaa8a2657_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Proviamo ora la restrizione 
. Abbiamo dunque
![\[f(x,x^3)=\dfrac{x^8+x^{24}}{x^8+x^{16}+x^{48}}=1+o\left(1\right)\quad \text{per}\,\, x \rightarrow 0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9711156d7d5fbc788b9a44b7d1032fa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi (1) converge a 
.
Abbiamo trovato due restrizioni di 
che hanno limite diverso per 
, violando così il teorema di unicità del limite e quindi (1) non esiste.
Fonte: clicca qui.