Esercizio 45 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 45   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy^2\right)}{x^2-xy^2+y^4} . \end{equation*}

 

Svolgimento.  Osserviamo che il denominatore è una quantità non negativa e si annulla solo in zero:

    \[x^2-xy^2+y^4=x^2-xy^2+\dfrac{y^4}{4}- \dfrac{y^4}{4}+y^4=\left(x-\dfrac{y^2}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}y^4\neq 0, \quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\]

Sia f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{\sin\left(xy^2\right)}{x^2-xy^2+y^4}.
Abbiamo

    \[\sin\left(xy^2\right)=xy^2+o\left(xy^2\right)\quad \text{per}\,\,(x,y)\rightarrow(0,0),\]

per cui il limite proposto è uguale a:

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\,\dfrac{xy^2}{x^2-xy^2+y^4}.\]

Sia

    \[g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[g(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2-xy^2+y^4}.\]

Proviamo la restrizione x=0 di g, ottenendo

    \[g(0,y)=0,\]

per cui risulta che (1) converge a zero.
Proviamo la restrizione di g lungo la retta y=\sqrt{x}, ottenendo

    \[g(x,\sqrt{x})=\dfrac{x^2}{x^2-x^2+x^2}=1,\]

quindi (1) converge a 1.
Avendo trovato due restrizioni che fanno convergere (1) a due valori differenti, non è verificato il teorema di unicità del limite, pertanto (1) non esiste.

 

 

Fonte: clicca qui.