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Limiti in due variabili – Esercizio 45

Limiti in due variabili

Home » Limiti in due variabili – Esercizio 45

In questo quarantacinquesimo articolo della raccolta Esercizi sui limiti in due variabili presentiamo il calcolo di un limite di una funzione di due variabili. Segnaliamo anche il precedente Limiti in due variabili – Esercizio 44 e il successivo Limiti in due variabili – Esercizio 46 per ulteriore materiale sul medesimo argomento.

 

Esercizio 45  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy^2\right)}{x^2-xy^2+y^4} . \end{equation*}

 

Richiami teorici.

Consigliamo la teoria reperibile nella cartella teoria sulle funzioni in più variabili.

Svolgimento.

Osserviamo che il denominatore è una quantità non negativa e si annulla solo in zero:

    \[x^2-xy^2+y^4=x^2-xy^2+\dfrac{y^4}{4}- \dfrac{y^4}{4}+y^4=\left(x-\dfrac{y^2}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}y^4\neq 0, \quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\]

Sia f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{\sin\left(xy^2\right)}{x^2-xy^2+y^4}. Abbiamo

    \[\sin\left(xy^2\right)=xy^2+o\left(xy^2\right)\quad \text{per}\,\,(x,y)\rightarrow(0,0),\]

per cui il limite proposto è uguale a:

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\,\dfrac{xy^2}{x^2-xy^2+y^4}.\]

Sia

    \[g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[g(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2-xy^2+y^4}.\]

Proviamo la restrizione x=0 di g, ottenendo

    \[g(0,y)=0,\]

per cui risulta che (1) converge a zero. Proviamo la restrizione di g lungo la retta y=\sqrt{x}, ottenendo

    \[g(x,\sqrt{x})=\dfrac{x^2}{x^2-x^2+x^2}=1,\]

quindi (1) converge a 1. Avendo trovato due restrizioni che fanno convergere (1) a due valori differenti, non è verificato il teorema di unicità del limite, pertanto (1) non esiste.

Fonte.

Problemisvolti.it

 
 

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