. Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento. Sia 
tale che 
Osserviamo che possiamo considerare la restrizione del dominio alla curva algebrica:
![\[x^2-y^6=kx^3\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b446dca427e43032ae54ae855247574b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che per 
appartiene naturalmente al campo di definizione di 
e può essere descritta, in un opportuno intorno dell’origine dipendente da 
, nella forma esplicita: 
(la curva ha quindi due rami reali e passa per l’origine).
Lungo questa restrizione la funzione può essere parametrizzata in termini di 
e risulta:
![\[f\left(x,\pm \left(x^2-kx^3\right)^{\frac{1}{6}}\right)=\dfrac{e^{kx^3}-1+x^3}{kx^3}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8066074252dd4d6c76a3940cb3056648_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi (1) diventa
![\[\lim_{x \rightarrow 0}f\left(x,\left(x^2-kx^3\right)^{\frac{1}{6}}\right)=\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^{kx^3}-1+x^3}{kx^3}=\frac{k+1}{k}, \qquad \quad \mbox{con } \, k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3922cff02c26a6a820edae43ff637e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Come si può osservare, (1) varia il proprio risultato a seconda della restrizione scelta, e questo viola il teorema di unicità del limite, pertanto (1) non esiste.
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