Esercizio 46 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 46   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2-y^6}-1+x^3}{x^2-y^6} . \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\Omega=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,x\neq\pm y^3\right\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{e^{x^2-y^6}-1+x^3}{x^2-y^6}.

Osserviamo che possiamo considerare la restrizione del dominio alla curva algebrica:

    \[x^2-y^6=kx^3\]

che per k\neq 0 \wedge x \neq 0 appartiene naturalmente al campo di definizione di f e può essere descritta, in un opportuno intorno dell’origine dipendente da k, nella forma esplicita: y=\left(x^2-kx^3\right)^{\frac{1}{6}} (la curva ha quindi due rami reali e passa per l’origine).

Lungo questa restrizione la funzione può essere parametrizzata in termini di x e risulta:

    \[f\left(x,\pm \left(x^2-kx^3\right)^{\frac{1}{6}}\right)=\dfrac{e^{kx^3}-1+x^3}{kx^3}\]

e quindi (1) diventa

    \[\lim_{x \rightarrow 0}f\left(x,\left(x^2-kx^3\right)^{\frac{1}{6}}\right)=\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^{kx^3}-1+x^3}{kx^3}=\frac{k+1}{k}, \qquad \quad \mbox{con } \, k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.\]

Come si può osservare, (1) varia il proprio risultato a seconda della restrizione scelta, e questo viola il teorema di unicità del limite, pertanto (1) non esiste.

 

 

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