Esercizio 47 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 47   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\left\{(0,0)\right\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}.
Osserviamo che

    \[e^{x^2+y^6}-1=x^2+y^6+o\left(x^2+y^6\right) \quad \text{per}\,\, (x,y) \rightarrow (0,0),\]

da cui (1) diventa

    \[\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}&= \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2+y^6+x^3+o\left(x^2+y^6\right)}{x^2+y^6}=\\\\ & = \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\left(1+\dfrac{x^3}{x^2+y^6}+o\left(1\right)\right)=\\\\ & = 1+\lim_{(x,y)\to (0,0)} \,\left(\dfrac{x^3}{x^2+y^6}\right), \end{aligned}\]

quindi non ci resta che calcolare

(2)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \,\left(\dfrac{x^3}{x^2+y^6}\right). \end{equation*}

Sia g:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\left\{(0,0)\right\}\rightarrow \mathbb{R} tale che g(x,y)=\dfrac{x^3}{x^2+y^6}.
Utilizziamo le coordinate polari ottenendo

    \[g\left(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta\right)=\dfrac{\rho^3\cos^3\theta}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^6\sin^6\theta}=\dfrac{\rho \cos^3\theta}{\cos^2\theta+\rho^4\sin^6\theta}\]

e poiché \sin^6\theta\geq 0, abbiamo

    \[0\leq \left \vert \dfrac{\rho \cos^3\theta}{\cos^2 \theta+\rho^4\sin^6\theta}\right \vert \leq \left \vert \dfrac{\rho \cos^3\theta}{\cos^2\theta}\right \vert=\rho\left \vert  \cos\theta\right \vert ,\]

dove

    \[\lim_{\rho\rightarrow 0^+}\rho\left \vert  \cos\theta\right \vert =0,\]

pertanto [1] anche (2) converge a zero.
Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}=1. }\]

 

 

1.  Siano f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \ell \in \mathbb{R} e (x_0, y_0) un punto di accumulazione per \Omega. Se esistono R > 0 e una funzione h:(0,R) \to \mathbb{R} tali che:

    \[\left\vert f\left(x_0 + \rho \cos\left(\theta\right), y_0 + \rho \sin\left(\theta\right)\right) - \ell\right\vert \leq h\left(\rho\right) \quad \forall\theta \in [0,2\pi),\ \rho \in (0,R)\]

e

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+}h(\rho)=0,\]

allora si ha:

    \[\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = \ell.\]