Esercizio 48 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 48  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (1,0)} \;\dfrac{\ln\left(x+y\right)}{\ln\left(x^2+y^2\right)}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia

    \[f:\Omega=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\, x+y>0,\,x^2+y^2\neq 1\, \right\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{\ln\left(x+y\right)}{\ln\left(x^2+y^2\right)}.\]

Posto x-1=t (1) diventa

(2)   \begin{equation*} \lim_{(t,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(1+t+y\right)}{\ln\left(\left(1+t\right)^2+y^2\right)}=\lim_{(t,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(1+t+y\right)}{\ln\left(1+t^2+y^2+2t\right)}. \end{equation*}

Osserviamo che

    \[\dfrac{\ln\left(1+t+y\right)}{\ln\left(1+t^2+y^2+2t\right)}=\dfrac{t+y+o\left(t+y\right)}{t^2+y^2+2t+o\left(t^2+y^2+2t\right)}=\left(\dfrac{t+y}{t^2+y^2+2t}\right)\left(1+o\left(1\right) \right) \quad \text{per}\,\, (t,y) \rightarrow (0,0),\]

per cui (2) diventa

(3)   \begin{equation*} \lim_{(t,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(1+t+y\right)}{\ln\left(1+t^2+y^2+2t\right)}=\lim_{(t,y)\to (0,0)} \dfrac{t+y}{t^2+y^2+2t}. \end{equation*}

Sia g:\tilde{\Omega}=\left\{(t,y)\in\mathbb{R}^2:\,t^2+y^2+2t\neq0\right\}\rightarrow \mathbb{R} tale che g(t,y)=\dfrac{t+y}{t^2+y^2+2t}.
Proviamo la restrizione t=0 di g, ottenendo

    \[g(0,y)=\dfrac{y}{y^2}=\dfrac{1}{y},\]

per cui (3) diventa

(4)   \begin{equation*} \lim_{y \rightarrow 0}\dfrac{1}{y}, \end{equation*}

dove

    \[\lim_{y \rightarrow 0^+}\dfrac{1}{y}=+\infty\]

e

    \[\lim_{y \rightarrow 0^-}\dfrac{1}{y}=-\infty.\]

Pertanto, dal momento che i risultati dei limiti sono diversi, si viola il teorema di unicità del limite, di conseguenza il limite (1) non esiste.

Fonte: ignota.