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Limiti in due variabili – Esercizio 41

Limiti in due variabili

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In questo quarantunesimo articolo della raccolta Esercizi sui limiti in due variabili presentiamo il calcolo di un limite di una funzione di due variabili. Segnaliamo anche il precedente Limiti in due variabili – Esercizio 40 e il successivo Limiti in due variabili – Esercizio 42 per ulteriore materiale sul medesimo argomento.

 

Esercizio 41  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left \vert xy \right \vert^{\left \vert xy \right \vert}-1}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{equation*}

 

Richiami teorici.

Consigliamo la teoria reperibile nella cartella teoria sulle funzioni in più variabili.

Svolgimento.

Sia f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,xy\neq0\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{\left \vert xy \right \vert^{\left \vert xy \right \vert}-1}{\sqrt{x^2+y^2}}. Osserviamo che

    \[\begin{aligned} \left \vert xy \right \vert^{\left \vert xy \right \vert}-1&=e^{\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert}-1=1-1+\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert+o\left(\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert\right)=\\\\ &=\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert+o\left(\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert\right)\quad \text{per}\,\,(x,y)\rightarrow (0,0), \end{aligned}\]

da cui

    \[\begin{aligned}\label{2} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left \vert xy \right \vert^{\left \vert xy \right \vert}-1}{\sqrt{x^2+y^2}}&=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert+o\left(\left \vert xy \right \vert\ln \left \vert xy \right \vert\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\nonumber\\ &=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\left \vert xy \right \vert \ln \left \vert xy \right \vert }{\sqrt{x^2+y^2}}\left(1+o\left(1\right)\right). \end{aligned}\]

Ora consideriamo

    \[g:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,xy\neq0\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[g(x,y)=\dfrac{\left \vert xy \right \vert \ln \left \vert xy \right \vert }{\sqrt{x^2+y^2}}.\]

Passando le coordinate polari [1] ad g, otteniamo:

    \[g(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)=\tilde{g}\left(\rho ,\theta\right)=\dfrac{\left \vert \dfrac{\rho^2\sin\left(2\theta\right)}{2}\right \vert \ln \left \vert \dfrac{\rho^2 \sin\left(2\theta\right)}{2}\right \vert }{\rho}=\left \vert \dfrac{\rho \sin\left(2\theta\right)}{2}\right \vert \ln \left \vert \frac{\rho^2 \sin\left(2\theta\right)}{2}\right \vert.\]

Osserviamo che [2]

    \[0\leq \left \vert \tilde{g}\left(\rho ,\theta\right)\right \vert \leq\left \vert\frac{\rho }{2} \ln \left \vert \frac{\rho^2}{2}\right \vert \right \vert ,\]

dove [3]

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+}\left \vert \frac{\rho }{2} \ln \left \vert \frac{\rho^2}{2}\right \vert \right \vert =0.\]

Dunque, concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left \vert xy \right \vert^{\left \vert xy \right \vert}-1}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.}\]

 

1. Si ricorda che

    \[\begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ \hspace{3.5cm} \rho\ge0,\,\theta \in [0,2\pi)\\ y=\rho \sin \theta \end{cases}\]

↩

2. \left \vert \sin\left(2\theta\right)\right \vert \leq1. ↩

3. Il limite si dimostra che converge a zero, ad esempio, applicando il teorema di de l’Hôpital. ↩

 
 

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  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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