Esercizio 24 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 24 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \dfrac{xy}{x^2+y^2}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}.
Proviamo la restrizione y=mx con m\in\mathbb{R}, ottenendo

    \[f(x,mx)=\dfrac{m^2x^2}{x^2+m^2x^2}=\dfrac{m^2}{1+m^2},\]

da cui

    \[\lim_{x \rightarrow \pm\infty}f(x,mx)=\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\dfrac{m^2}{1+m^2}=\dfrac{m^2}{1+m^2}.\]

Come si può notare, il risultato di (1) varia a seconda del valore di m, violando così il teorema di unicità del limite, quindi (1) non esiste.

 

Fonte: clicca qui.