Esercizio 25 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 25  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \dfrac{1}{\left \vert x+y\right \vert}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,y\neq-x\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)= \dfrac{1}{\left \vert x+y\right \vert}.
Proviamo la restrizione y=mx con m\in\mathbb{R}\setminus \{-1\} ottenendo

    \[f(x,mx)=\dfrac{1}{\left \vert x+mx\right \vert }=\dfrac{1}{\left \vert x\right \vert \left \vert m+1\right \vert}\]

e (1) diventa

    \[\lim_{x \rightarrow \pm\infty}f(x,mx)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\dfrac{1}{\left \vert x\right \vert \left \vert m+1\right \vert}=0\quad\forall m \in \mathbb{R}\setminus \{-1\}.\]

Proviamo la restrizione y=-x+x^\alpha con \alpha\in \mathbb{R} ottenendo

    \[f(x,-x+x^\alpha)=\dfrac{1}{\left \vert x-x+x^\alpha\right \vert}=\dfrac{1}{\left \vert x^\alpha \right \vert }\]

da cui (1) diventa

    \[\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\dfrac{1 }{x^\alpha}=\begin{cases} 0\quad &\text{se}\,\, \alpha>0\\ 1&\text{se}\,\,\alpha=0\\ \pm\infty&\text{se}\,\,\alpha<0. \end{cases}\]

Come si può notare il valore di (1) varia al variare delle restrizioni considerate, violando così il teorema di unicità del limite. Pertanto si conclude che il limite non esiste.

 

Fonte: clicca qui.