Esercizio 26 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 26  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{1}{\left \vert x \right \vert + \left \vert y \right \vert }. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{1}{\left \vert x \right \vert + \left \vert y \right \vert }.
Proviamo la restrizione y=mx con m\in\mathbb{R} ottenendo

    \[f(x,mx)=\dfrac{1}{\left \vert mx\right \vert +\left \vert x \right \vert}=\dfrac{1}{\left \vert x \right \vert \left(\left \vert m \right \vert +1\right)}\]

per cui (1) può essere riscritta come segue

    \[\lim_{x\rightarrow\pm \infty}f(x,mx)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{1}{\left \vert x \right \vert \left(\left \vert m \right \vert +1\right)} =0, \qquad \quad \forall m \in \mathbb{R}.\]

Questo ci fa pensare che effettivamente (1) converga a zero.
Passando in coordinate polari [1], si ottiene:

    \[f\left(\rho \cos \theta , \rho \sin \theta\right)=\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)=\dfrac{1}{\left \vert \rho \cos \theta \right \vert + \left \vert \rho \sin \theta \right \vert }=\dfrac{1}{\left \vert \rho \right \vert \left(\left \vert \cos \theta \right \vert +\left \vert \sin \theta \right \vert \right)}.\]

Notiamo che la funzione \left \vert \cos\theta\right \vert +\left \vert \sin\theta\right \vert è strettamente positiva, perché é somma di due quantità non negative e potrebbe essere nulla solo se simultaneamente \left \vert \cos\theta\right \vert = \left \vert \sin\theta\right \vert= 0, cioè \sin\theta = \cos\theta = 0, che però non é mai verificato. Essendo continua, il suo minimo sull’intervallo [0,2\pi] deve essere strettamente positivo [2]. Pertanto

    \[m \coloneqq \min\{\left \vert \cos\theta\right \vert +\left \vert \sin\theta\right \vert \} > 0.\]

Allora

    \[0 \le \tilde{f}\left(\rho,\theta\right)\leq \dfrac{1}{m\rho} \quad \forall \theta \in [0,2\pi].\]

Dato che m > 0, si ha

    \[\lim_{\rho \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{m\rho} = 0.\]

Quindi, per il teorema del confronto, concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{1}{\left \vert x \right \vert + \left \vert y \right \vert }=0.}\]

 

 

 

1. Coordinate polari.

    \[\begin{cases} x=\rho \cos \theta\\ y=\rho \sin \theta, \qquad \rho \ge 0, \theta \in [0,2\pi). \end{cases}\]

2. Con un calcolo semplice ma un po’ tedioso, si può dimostrare che il minimo assoluto è 1.  

 

 

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