Esercizio 23 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 23  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{\sin\left(xy\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{\sin\left(xy\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Osserviamo che

    \[0 \le \left \vert \dfrac{\sin\left(xy\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right \vert =\dfrac{\left\vert \sin\left(xy\right)\right\vert}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

e

    \[\lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.\]

Quindi per il Teorema del Confronto, abbiamo

    \[\lim_{(\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty}\left \vert \dfrac{\sin\left(xy\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right \vert=0.\]

Pertanto concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \rightarrow +\infty}\dfrac{\sin\left(xy\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.