Esercizio 22 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

Home » Esercizio 22 limiti in due variabili
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 22  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x+y}{x^2+y^2}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}.
Proviamo la restrizione y=mx\,\,\text{con}\,\,m\in\mathbb{R} ottenendo

    \[f(x,mx)=\dfrac{mx+x}{m^2x^2+x^2}=\dfrac{x(m+1)}{x^2\left(1+m^2 \right)}=\dfrac{m+1}{x\left(1+m^2\right)},\]

per cui (1) può essere riscritta come segue

    \[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x,mx)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{m+1}{x\left(1+m^2\right)}=0, \qquad \quad \forall m \in \mathbb{R}.\]

Questo ci fa pensare che effettivamente (1) converga a zero.
Passando in coordinate polari, f diventa

    \[f\left(\rho \cos \theta , \rho \sin \theta\right)=\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)=\dfrac{\rho \left(\cos \theta + \sin \theta \right)}{\rho^2 \left(\cos^2 \theta + \sin^2\theta \right)}=\dfrac{ \cos \theta + \sin \theta }{\rho}=\dfrac{\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)}{\rho}\]

e osserviamo che

    \[0\leq \left \vert \tilde{f}\left(\rho,\theta\right)\right \vert \leq \dfrac{\sqrt{2}}{ \rho },\]

dove

    \[\lim_{\rho \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{2}}{\rho }=0.\]

Dunque si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x+y}{x^2+y^2}=0.}\]

 

 

Fonte: clicca qui.