Esercizio 21 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 21  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2-y^2}{x+y}\sin\left(\dfrac{1}{xy}\right). \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,y\neq -x ,\, xy\neq 0 \}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x+y}\sin\left(\dfrac{1}{xy}\right).
Osserviamo che

    \[\left \vert f(x,y) \right \vert \leq \left \vert \dfrac{x^2-y^2}{x-y}\right \vert =\left \vert \dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x+y}\right \vert =\left \vert x-y \right \vert ,\]

dove

    \[\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\,\left \vert x-y \right \vert =0,\]

quindi

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\,\left \vert f(x,y) \right \vert =0.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2-y^2}{x+y}\sin\left(\dfrac{1}{xy}\right)=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.