Esercizio 20 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^9\cdot y^{20}}{\left(x^8+ y^{20}\right)\left(x^{20}+y^8\right)}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{x^9\cdot y^{20}}{\left(x^8+y^{20}\right)\left(x^{20}+y^8\right)}.\]

Proviamo la restrizione y=mx\,\,\,\text{con}\,\,m\in\mathbb{R}\setminus\{0\} ottenendo

    \[\begin{aligned} f(x,mx)=\tilde{f}(x)&=\dfrac{x^9\cdot\left( m^{20}x^{20}\right)}{\left(x^8+m^{20}x^{20}\right) \left(x^{20}+x^8m^8\right)}=\dfrac{x^{29}m^{20}}{x^{8}\left(1+m^{20}x^{12}\right)x^{8}\left(m^{8}+x^{12}\right)}=\\\\ &=\dfrac{x^{29}m^{20}}{x^{16}\left(1+m^{20}x^{12}\right)\left(m^{8}+x^{12}\right)}=\dfrac{x^{13}m^{20}}{\left(1+m^{20}x^{12}\right)\left(m^{8}+x^{12}\right)}=\\\\ &=\dfrac{x^{13}m^{20}}{\left(1+m^{20}x^{12}\right)\left(m^{8}+x^{12}\right)}=\dfrac{x^{13}m^{20}}{m^8}\left(1+o\left(1\right) \right)=\\\\ &=x^{13}m^{12}\left(1+o\left(1\right)\right) \quad \text{per}\,\, x \rightarrow 0, \end{aligned}\]

per cui (1) diventa

    \[\lim_{x\rightarrow 0 }f(x,mx) =\lim_{x\rightarrow 0 }x^{13}m^{12}\left(1+o\left(1\right)\right)=0\quad \forall m\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.\]

Incoraggiati da questo risultato, proviamo a vedere se il limite vale effettivamente 0.
Prima di tutto si vuole far osservare che

    \[x^8+y^{20}\geq x^8 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{x^8+y^{20}}\leq\dfrac{1}{x^8}\]

perché y^{20}\geq 0.
Inoltre, notiamo che

    \[x^{20}+y^8\geq y^8 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{x^{20}+y^8}\leq \dfrac{1}{y^8},\]

perché x^{20}\geq 0.
Quindi

    \[\left \vert \dfrac{x^9\cdot y^{20}}{\left(x^8+ y^{20}\right)\left(x^{20}+y^8\right)}\right \vert \leq\left \vert \dfrac{x^9y^{20}}{x^8y^8}\right \vert =\left \vert xy^{12}\right \vert ,\]

da cui

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\left \vert xy^{12}\right \vert =0.\]

Pertanto concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^9\cdot y^{20}}{\left(x^8+ y^{20}\right)\left(x^{20}+y^8\right)}=0 . }\]

 

Fonte: clicca qui.