Esercizio 19 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+2xy}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Sia f:\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,y\neq-x\}\rightarrow \mathbb{R} tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{x^4+y^4}{\left(y+x \right)^2}.\]

Proviamo la restrizione y=mx con m\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}, ottenendo

    \[f(x,mx)=\tilde{f}(x)=\dfrac{x^4+m^4x^4}{x^2+m^2x^2+2x^2m}=\dfrac{x^4\left(1+m^4\right)}{x^2\left(m^2+2m+1\right)}=x^2 \; \dfrac{m^4+1}{\left(m+1\right)^2}\]

per cui (1) diventa

    \[\lim_{x\rightarrow 0 }x^2 \dfrac{m^4+1}{\left(m+1\right)^2} = 0 \quad \forall m\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.\]

Come seconda restrizione scegliamo una curva definita per x>0 avente equazione y=-x+x^\alpha\,\,\text{con}\,\,\alpha>1, ottenendo

    \[f(x,-x+x^\alpha)=\dfrac{x^4+\left(-x+x^\alpha\right)^4}{\left(-x+x^\alpha+x\right)^2}=\dfrac{x^4+x^4\left(1-x^{\alpha-1}\right)^4}{x^{2\alpha}}=\dfrac{2x^4+o\left(x^4\right)}{x^{2\alpha}}=\dfrac{2}{x^{2\alpha-4}}\left(1+o\left(1\right)\right)\quad \text{per}\,\,x\rightarrow 0^+.\]

Per \alpha=2 il limite (1) diventa

    \[\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x,-x+x^{\frac{1}{2}})=\lim_{x \rightarrow 0^+}2=2.\]

Osserviamo ora che lungo due restrizioni differenti, si trovano due risultati diversi e questa è una violazione del teorema di unicità del limite, pertanto concludiamo che (1) non esiste.

 

Fonte: clicca qui.