Esercizio 18 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

Home » Esercizio 18 limiti in due variabili


 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. Osserviamo che il denominatore è una quantità non negativa e si annulla solo in (0,0):

    \[x^2+y^2+xy=x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2-\dfrac{1}{4}y^2+y^2=\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2> 0,\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.\]

Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}.
Proviamo due semplici restrizioni per capire cosa succede: poniamo x=0 ottenendo

    \[f(0,y)=\dfrac{y^4}{y^2}=y^2,\]

da cui

    \[\lim_{y \rightarrow 0}\,y^2=0.\]

Ora proviamo la restrizione y=0 ottenendo

    \[f(x,0)=\dfrac{x^4}{x^2}=x^2\]

da cui

    \[\lim_{x\rightarrow 0}x^2=0.\]

Questi risultati ci fanno pensare che (1) converga a 0.
Proviamo a dimostrarlo passando in coordinate polari. Si ottiene:

    \[\begin{aligned} f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)&=\tilde{f}(\rho,\theta)=\dfrac{\rho^4\cos^4\theta+\rho^4\sin^4\theta}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta+\left(\rho\cos\theta \right)\left(\rho\sin\theta \right) }=\\\\ &=\dfrac{\rho^4\left(\cos^4\theta+\sin^4\theta \right) }{\rho^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta \right)+\rho^2\cos\theta\sin\theta }=\dfrac{\rho^4}{\rho^2}\cdot\dfrac{\cos^4\theta+\sin^4\theta}{1+\cos\theta\sin\theta}=\rho^2\cdot\dfrac{\cos^4\theta+\sin^4\theta}{1+\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)}. \end{aligned}\]

Osserviamo che

    \[\cos^4\theta + \sin^4 \theta < 2.\]

Inoltre sappiamo che

    \[\sin\left(2\theta\right)\geq-1,\]

quindi

    \[0\leq \tilde{f}(\rho,\theta) <\rho^2\cdot\dfrac{2}{1-\dfrac{1}{2}}=4\rho^2,\]

da cui

    \[\lim_{\rho \rightarrow0^+}4\rho^2=0.\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}=0.}\]

Fonte: clicca qui.