Esercizio 33 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 33 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^2-xy^2+y^4}{x^2+y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^2-xy^2+y^4}{x^2+y^4}.
Proviamo la restrizione y=x, ottenendo

    \[f(x,x)=\dfrac{x^2-x^3+x^4}{x^2+x^4}=1+o\left(1\right)\quad \text{per}\,\,x\rightarrow +\infty,\]

dunque (1) converge a 1.
Proviamo ora la restrizione x=y^2 e otteniamo

    \[f(y^2,y)=\dfrac{y^4-y^4+y^4}{y^4+y^4}=\dfrac{1}{2},\]

con cui deduciamo che (1) converge ad \dfrac{1}{2}.
Pertanto, concludiamo che (1) non esiste in quanto lungo due restrizioni diverse otteniamo due valori differenti violando così il teorema di unicità del limite.

 

Fonte: clicca qui.