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Limiti in due variabili – Esercizio 32

Limiti in due variabili

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Limiti in due variabili – Esercizio 32

In questo trentaduesimo articolo della raccolta Esercizi sui limiti in due variabili presentiamo il calcolo di un limite di una funzione di due variabili. Segnaliamo anche il precedente Limiti in due variabili – Esercizio 31 e il successivo Limiti in due variabili – Esercizio 33 per ulteriore materiale sul medesimo argomento.

Esercizio 32 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^6+y^6}{x^2+y^4}. \end{equation*}

 

Di seguito due proposte di svolgimento differenti.

Richiami teorici.

Consigliamo la teoria reperibile nella cartella teoria sulle funzioni in più variabili.

Svolgimento 1.

Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^6+y^6}{x^2+y^4}. Proviamo la restrizione y=mx\,\,\text{con}\,\,m\in\mathbb{R}, ottenendo

    \[f(x,mx)=\dfrac{x^6+x^6m^6}{x^2+m^4x^4}=\dfrac{x^6\left(1+m^6\right)}{x^2\left(1+m^4\right)}=x^4\left(\dfrac{1+m^6}{1+m^4}\right)\]

e osserviamo che (1) diverge positivamente per ogni valore di m; questo ci fa pensare che (1) diverga positivamente. Passando in coordinate polari, abbiamo:

    \[f(\rho \cos \theta , \rho \sin \theta)=\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)=\dfrac{\rho^6\left(\cos^6\theta +\sin^6 \theta\right)}{\rho^2\left(\cos^2\theta+\rho^2\sin^4 \theta\right)}=\dfrac{\rho^4\left(\cos^6\theta +\sin^6 \theta\right)}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4 \theta},\]

e sapendo che [1]

    \[\min\{\cos^6\theta +\sin^6 \theta\}=\dfrac{1}{4},\]

e

    \[\cos^2 \theta \leq 1 \,\,,\,\,\sin^4 \theta \leq 1 ,\]

abbiamo

    \[\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)\geq \dfrac{\rho^4}{4\left(1+\rho^2\right) }.\]

Dal momento che

    \[\lim_{\rho \rightarrow +\infty}\dfrac{\rho^4}{4\left(1+\rho^2\right) }=+\infty,\]

possiamo concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^6+y^6}{x^2+y^4}=+\infty.}\]

Svolgimento 2.

Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^6+y^6}{x^2+y^4}. Proviamo la restrizione y=mx\,\,\text{con}\,\,m\in\mathbb{R}, ottenendo

    \[f(x,mx)=\dfrac{x^6+x^6m^6}{x^2+m^4x^4}=\dfrac{x^6\left(1+m^6\right)}{x^2\left(1+m^4\right)}=x^4\left(\dfrac{1+m^6}{1+m^4}\right)\]

e osserviamo che (1) diverge positivamente per ogni valore di m; questo ci fa pensare che (1) diverga positivamente. Passando in coordinate polari, abbiamo:

    \[f(\rho \cos \theta , \rho \sin \theta)=\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)=\dfrac{\rho^6\left(\cos^6\theta +\sin^6 \theta\right)}{\rho^2\left(\cos^2\theta+\rho^2\sin^4 \theta\right)}=\dfrac{\rho^4\left(\cos^6\theta +\sin^6 \theta\right)}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4 \theta}.\]

Si osservi che

    \[\cos^2 \theta \leq 1 \,\,,\,\,\sin^4 \theta \leq 1 ,\]

per ogni \theta\in [0,2\pi). Inoltre, notiamo che la funzione \cos^6\theta +\sin^6 \theta>0 è strettamente positiva, perché è somma di due quantità non negative e potrebbe essere nulla solo se simultaneamente \left \vert \cos^6\theta\right \vert = \left \vert \sin^6\theta\right \vert= 0, cio\`e \sin\theta = \cos\theta = 0, che per\`o non \`e mai verificato. Essendo continua, il suo minimo sull’intervallo [0,2\pi] deve essere strettamente positivo. Pertanto

    \[m \coloneqq \min\{\cos^6\theta +\sin^6 \theta \} > 0.\]

Allora

    \[\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)\geq \dfrac{m\rho^4}{\left(1+\rho^2\right) } \quad \forall \theta \in [0,2\pi].\]

Dato che m > 0, si ha

    \[\lim_{\rho \rightarrow +\infty} \dfrac{m\rho^4}{\left(1+\rho^2\right) } = 0.\]

Quindi, per il teorema del confronto, concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^6+y^6}{x^2+y^4}=+\infty.}\]

 

1. Per qualunque \theta\in\mathbb{R} e qualunque n\in\mathbb{N} si ha

    \[\min_{\theta\in\mathbb{R}}\left\{ \cos^{2n}(\theta)+\sin^{2n}(\theta) \right\}= \frac{1}{2^{n-1}}.\]

. ↩

Fonte.

Problemisvolti.it

 
 

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    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
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  20. Equazioni differenziali lineari
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    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
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  25. Analisi funzionale
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    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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