Esercizio 31 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 31 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to +\infty} \;\left(x^2+y^2+2xy\right). \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2.
Proviamo la restrizione y=mx\,\,\text{con}\,\,m\in\mathbb{R} ottenendo

    \[f(x,mx)=x^2\left(m+1\right)^2,\]

e osserviamo che (1) converge a zero per m=-1 e diverge positivamente \forall m \in \mathbb{R}, violando così il teorema di unicità del limite, pertanto (1) non esiste.

 

Fonte: clicca qui.