Esercizio 30 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 30  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert\to+ \infty} \;\left(x^2+y^2+xy\right). \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=x^2+y^2+xy.

    \[f(x,mx)=x^2+m^2x^2+m^2x^2=x^2+2m^2x^2,\]

per cui (1) può essere riscritta come segue:

    \[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x,mx)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x^2+2m^2x^2\right)=+\infty,\quad \forall m \in \mathbb{R}.\]

Questo ci fa pensare che effettivamente (1) diverga positivamente.
Passiamo in coordinate polari e f diventa

    \[f\left(\rho \cos \theta , \rho \sin \theta\right)=\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta+\rho^2\cos \theta \sin \theta =\rho^2+\dfrac{\rho^2}{2}\sin\left(2\theta\right)\]

e osserviamo che

    \[\rho^2+\dfrac{\rho^2}{2}\sin\left(2\theta\right)\geq \rho^2-\dfrac{\rho^2}{2}=\dfrac{\rho^2}{2}\]

perché \sin\left(2\theta\right)\geq -1 e siccome

    \[\displaystyle\lim_{\rho \rightarrow +\infty} \dfrac{\rho^2}{2}=+\infty,\]

possiamo concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert\to+ \infty} \;\left(x^2+y^2+xy\right)=+\infty.}\]

 

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