Esercizio 29 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 29 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5+y^5 \right \vert }. \end{equation*}

 

Lo svolgimento che segue è ad opera di Nicola Fusco. 

 

Svolgimento. La funzione con legge di corrispondenza f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{\vert x^5+y^5\vert} ha evidentemente come dominio massimale l’insieme \mathbb{D}_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y\neq-x\}.
Il limite di cui valutare l’esistenza, ed eventualmente calcolare il valore, deve, per esistere, avere lo stesso risultato su qualunque curva y=g(x) il cui grafico sia tutto contenuto in \mathbb{D}_f e tale che il dominio massimale di g sia illimitato in almeno una direzione.
Naturalmente non si può eseguire direttamente il calcolo su qualunque possibile curva del genere, dobbiamo quindi analizzare il limite in modo da capire come individuare le eventuali curve che possono dare luogo a risultati diversi, e poi verificare se effettivamente questi risultati sono diversi. Una volta scelta la curva y=g(x), il limite in questione diventa:

  1. Se, per \vert x\vert\to+\infty, g è limitata oppure x è un infinito di ordine maggiore di g(x) (quindi, in entrambi i casi, \displaystyle\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}=0), allora possiamo procedere nel modo seguente:

        \[\begin{aligned} \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{x^2+g(x)^2}{\vert x^5+g(x)^5\vert}&=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{\vert x\vert^2\left[1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^2\right]}{\vert x\vert^5\bigg\vert 1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^5\bigg\vert}=\\ &= \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^2\right]}{\vert x\vert^3\bigg\vert 1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^5\bigg\vert}=\\ &=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{1}{\vert x\vert^3}=0. \end{aligned}\]

    Il penultimo passaggio è giustificato dall’ipotesi \displaystyle \lim_{\vert x\vert\to\infty}\dfrac{g(x)}{x}=0 e dal fatto che sostituire \dfrac{g(x)}{x} con 0 non dà luogo a nessuna forma indeterminata.

  2. Se, per \displaystyle \vert x\vert\to+\infty,\,x è un infinito di ordine minore di g(x) (quindi \displaystyle \lim_{\vert x\vert\to\infty}\dfrac{x}{g(x)}=0), allora possiamo procedere nel seguente modo:

        \[\begin{aligned} \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{x^2+g(x)^2}{\vert x^5+g(x)^5\vert}&=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{\vert g(x)\vert^2\left[1+\left(\dfrac{x}{g(x)}\right)^2\right]}{\le\vert g(x)\vert^5\bigg\vert1+\left(\dfrac{x}{g(x)}\right\vert )^5\vert}=\\ &=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{x}{g(x)}\right)^2\right]}{\vert g(x)\vert^3\bigg\vert1+\left(\dfrac{x}{g(x)}\right)^5\bigg\vert}=\\ &=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{1}{\vert g(x)\vert^3}=0. \end{aligned}\]

    Gli ultimi due passaggi sono giustificati dalle ipotesi \displaystyle \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{x}{g(x)}=0,\,\lim_{\vert x\vert \to+ \infty}\vert g(x)\vert=+\infty e dal fatto che sostituire \dfrac{x}{g(x)} con 0 non dà luogo a nessuna forma indeterminata.

  3. Se per \vert x\vert\to+\infty la funzione x è un infinito di ordine uguale a g(x) (cioè \displaystyle \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}=k\wedge k\in\mathbb{R}\wedge k\neq0), allora possiamo procedere inizialmente in modo simile al punto a:

    (2)   \begin{equation*} \lim_{\vert x\vert \to+\infty}\dfrac{x^2+g(x)^2}{\vert x^5+g(x)^5}=\lim_{\vert x\vert\to+\infty} \dfrac{\vert x\vert^2\left[1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^2\right]}{\vert x\vert^5\bigg\vert 1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^5\bigg\vert}= \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^2\right]}{\vert x\vert^3\bigg\vert1+\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)^5\bigg\vert} . \end{equation*}

    A questo punto dobbiamo valutare l’eventuale insorgenza di forme indeterminate nel sostituire \dfrac{g(x)}{x} con il suo limite all’infinito.

  • Se k\neq-1 allora sostituire \dfrac{g(x)}{x} con k in (2) non da luogo a nessuna forma indeterminata e pertanto

    (3)   \begin{equation*} \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{x^2+g(x)^2}{\vert x^5+g(x)^5\vert}=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{1+k^2}{\vert x\vert^3(1+k^5)}=0 \end{equation*}

    come negli altri casi.

  • Se invece k=-1 allora al denominatore ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata del tipo [\infty\cdot 0].
    Dobbiamo quindi analizzare i casi singoli per vedere se la forma specifica di g influenza il valore del limite, cioè dobbiamo scegliere una famiglia di curve y=g_n(x) con n\in\mathbb{N}, per le quali

    (4)   \begin{equation*} \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{g_n(x)}{x}=-1 \end{equation*}

    e vedere cosa accade al variare di n. Una scelta molto semplice è y=-x +\dfrac{1}{x^n}. Sostituendo questa espressione al posto di g(x) in (??) otteniamo:

        \[\begin{aligned} \lim_{\vert x\vert\to+\infty} \dfrac{x^2+\left(-x+\dfrac{1}{x^n}\right)^2}{\bigg\vert x^5+\left(-x+\dfrac{1}{x^n}\right)^5\bigg\vert}&=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{2x^2-\dfrac{2}{x^{n-1}}+\dfrac{1}{x^{2n}}}{\bigg\vert\dfrac{5}{x^{n-4}}-\dfrac{10}{x^{2n-3}}+\dfrac{10}{x^{3n-2}}-\dfrac{5}{x^{4n-1}}+\dfrac{1}{x^{5n}} \bigg\vert}=\\ &=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{\vert x\vert^2}{\dfrac{1}{\vert x\vert^{n-4}}}\dfrac{2-\dfrac{2}{x^{n+1}}+ \dfrac{1}{x^{2n+2}}}{\bigg\vert 5- \dfrac{10}{x^{n+1}}+\dfrac{10}{x^{2n+2}}- \dfrac{5}{x^{3n+3}}+\dfrac{1}{x^{4n+4}}\bigg\vert}=\\ &=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\vert x\vert^{n-2}\dfrac{2-\dfrac{2}{x^{n+1}}+\dfrac{1}{x^{2n+2}}}{\bigg\vert 5-\dfrac{10}{x^{n+1}}+\dfrac{10}{x^{2n+2}}-\dfrac{5}{x^{3n+3}}+\dfrac{1}{x^{4n+4}} \bigg\vert}. \end{aligned}\]

    Tutte le frazioni del tipo \dfrac{c}{x^m} (dato che m>0) tendono a 0 e possiamo sostituire tale valore dato che non dà luogo ad alcuna forma indeterminata.

    (5)   \begin{equation*} \lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{x^2+\left(-x+\dfrac{1}{x^n}\right)^2}{\bigg\vert x^5+\left(-x+\dfrac{1}{x^n}\right)^5\bigg\vert}=\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\dfrac{2}{5}\vert x\vert^{n-2}=\begin{cases} 0\quad &\mbox{se }n=1\\\\ \dfrac{2}{5}&\mbox{se }n=2\\\\ +\infty &\mbox{se }n\ge3. \end{cases} \end{equation*}

    Pertanto le diverse curve di questa famiglia danno luogo a limiti diversi e quindi il limite in generale non esiste.

 

 

Fonte: clicca qui.