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Limiti in due variabili – Esercizio 28

Limiti in due variabili

Home » Limiti in due variabili – Esercizio 28

In questo ventottesimo articolo della raccolta Esercizi sui limiti in due variabili presentiamo il calcolo di un limite di una funzione di due variabili. Segnaliamo anche il precedente Limiti in due variabili – Esercizio 27 e il successivo Limiti in due variabili – Esercizio 29 per ulteriore materiale sul medesimo argomento.

 

Esercizio 28 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to+\infty} \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert }. \end{equation*}

 

Richiami teorici.

Consigliamo la teoria reperibile nella cartella teoria sulle funzioni in più variabili.

Svolgimento.

Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)= \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert}. Proviamo la restrizione di f lungo la retta y = 0, ottenendo:

    \[f(x,0)=\dfrac{x^2}{\vert x^5 \vert}=\dfrac{1}{\vert x^3 \vert},\]

per cui (1) diventa

    \[\lim_{x \rightarrow\pm\infty}f(x,0)=\lim_{x \rightarrow\pm\infty}\dfrac{1}{\vert x^3 \vert}=0.\]

Ora proviamo la restrizione lungo la retta x = 0, trovando così

    \[f(0,y)=\dfrac{y^2}{\vert y^5 \vert}=\dfrac{1}{\vert y^3 \vert},\]

da cui

    \[\lim_{y \rightarrow \pm\infty}f(0,y)=\lim_{y \rightarrow \pm\infty}\dfrac{1}{\vert y^3 \vert}=0.\]

Basandoci su questi indizi, proviamo a dimostrare che il limite (1) converge a 0 utilizzando le coordinate polari. Otteniamo:

    \[f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta)=\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)=\dfrac{\rho^2}{ \rho^5 \left(\left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert \right)}=\dfrac{1}{ \rho^3 \left(\left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert \right)}.\]

Notiamo che la funzione \left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert è strettamente positiva, perché è somma di due quantità non negative e potrebbe essere nulla solo se simultaneamente \left \vert \cos^5\theta\right \vert = \left \vert \sin^5\theta\right \vert= 0, cioè \sin\theta = \cos\theta = 0, che però non é mai verificato. Essendo continua, il suo minimo sull’intervallo [0,2\pi] deve essere strettamente positivo [2]. Pertanto

    \[m \coloneqq \min\{\left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert \} > 0.\]

Allora

    \[0 \le \left \vert \tilde{f}\left(\rho,\theta\right)\right \vert\leq \dfrac{1}{m\rho^3} \quad \forall \theta \in [0,2\pi].\]

Dato che m > 0, si ha

    \[\lim_{\rho \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{m\rho^3} = 0.\]

Quindi, per il teorema del confronto, concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to+\infty} \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert }=0.}\]

 

1. Con un calcolo semplice ma un po’ tedioso, si può dimostrare che m = 1/\sqrt{8}. ↩

Fonte.

Problemisvolti.it

 
 

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  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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