Esercizio 28 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 28  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to+\infty} \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert }. \end{equation*}

 

 Svolgimento.  Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)= \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert}.
Proviamo la restrizione di f lungo la retta y = 0, ottenendo:

    \[f(x,0)=\dfrac{x^2}{\vert x^5 \vert}=\dfrac{1}{\vert x^3 \vert},\]

per cui (1) diventa

    \[\lim_{x \rightarrow\pm\infty}f(x,0)=\lim_{x \rightarrow\pm\infty}\dfrac{1}{\vert x^3 \vert}=0.\]

Ora proviamo la restrizione lungo la retta x = 0, trovando così

    \[f(0,y)=\dfrac{y^2}{\vert y^5 \vert}=\dfrac{1}{\vert y^3 \vert},\]

da cui

    \[\lim_{y \rightarrow \pm\infty}f(0,y)=\lim_{y \rightarrow \pm\infty}\dfrac{1}{\vert y^3 \vert}=0.\]

Basandoci su questi indizi, proviamo a dimostrare che il limite (1) converge a 0 utilizzando le coordinate polari. Otteniamo:

    \[f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta)=\tilde{f}\left(\rho,\theta\right)=\dfrac{\rho^2}{ \rho^5 \left(\left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert \right)}=\dfrac{1}{ \rho^3 \left(\left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert \right)}.\]

Notiamo che la funzione \left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert è strettamente positiva, perché è somma di due quantità non negative e potrebbe essere nulla solo se simultaneamente \left \vert \cos^5\theta\right \vert = \left \vert \sin^5\theta\right \vert= 0, cioè \sin\theta = \cos\theta = 0, che però non é mai verificato. Essendo continua, il suo minimo sull’intervallo [0,2\pi] deve essere strettamente positivo [2]. Pertanto

    \[m \coloneqq \min\{\left \vert \cos^5\theta\right \vert +\left \vert \sin^5\theta\right \vert \} > 0.\]

Allora

    \[0 \le \left \vert \tilde{f}\left(\rho,\theta\right)\right \vert\leq \dfrac{1}{m\rho^3} \quad \forall \theta \in [0,2\pi].\]

Dato che m > 0, si ha

    \[\lim_{\rho \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{m\rho^3} = 0.\]

Quindi, per il teorema del confronto, concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to+\infty} \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert }=0.}\]

 

1. Con un calcolo semplice ma un po’ tedioso, si può dimostrare che m = 1/\sqrt{8}.

 

 

Fonte: clicca qui.