Esercizio 34 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 34 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy\right)}{xy+x^2y^2}. \end{equation*}

 

 

Svolgimento.  Sia f:\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, xy\neq 0,\, xy\neq -1\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{\sin\left(xy\right)}{xy+x^2y^2}.
Si osserva che

    \[\sin(xy)=xy+o\left(xy\right)\quad \text{per}\,\,(x,y)\rightarrow(0,0),\]

dunque (1) diventa

    \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy\right)}{xy+x^2y^2}= \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{xy+o\left(xy\right)}{xy+x^2y^2}=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{1+o\left(1\right)}{1+xy}=1. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy\right)}{xy+x^2y^2}=1.}\]

 

Fonte: clicca qui.