Esercizio 39 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 39  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}. \end{equation*}

 

 

Svolgimento.  Sia f:\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}.
Si osserva che

    \[e^{x^2+y^6}=1+x^2+y^6+o\left(x^2+y^6 \right) \quad \text{per}\,\,(x,y)\rightarrow (0,0)\]

e dunque (1) diventa

    \[\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}=&\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{1+x^2+y^6-1+x^3+o\left(x^2+y^6 \right)}{x^2+y^6}=\\\\ &=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2+x^3+y^6+o\left(x^2+y^6 \right)}{x^2+y^6}=\\\\ &=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\left(1+o\left(1\right)+\dfrac{x^3}{x^2+y^6}\right)=\\\\ &=1+\lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^3}{x^2+y^6}. \end{aligned}\]

Non ci resta che calcolare

(2)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^3}{x^2+y^6}. \end{equation*}

Sia g:\tilde{\Omega}=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che g(x,y)=\dfrac{x^3}{x^2+y^6}.
Proviamo la restrizione di g lungo la retta y=0, ottenendo

    \[g(x,0)=\dfrac{x^3}{x^2}=x,\]

da cui risulta che (2) converge a 0.
Proviamo ora la restrizione x=0, ottenendo

    \[g(0,y)=0,\]

da cui risulta (2) converge a 0.
Quanto ottenuto ci fa sospettare che (2) converga a 0, quindi proviamo a dimostrarlo applicando le coordinate polari. Sia

    \[g(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta )=\tilde{g}\left(\rho,\theta \right)=\dfrac{\rho^3 \cos^3\theta}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^6\sin^6\theta}=\dfrac{\rho \cos^3\theta}{\cos^2\theta+\rho^4\sin^6\theta}.\]

Dato che \cos^2\theta \geq 0, si ha

    \[0\leq \left \vert \tilde{g}(\rho,\theta)\right \vert \leq \left \vert \dfrac{\rho\cos^3\theta}{\cos^2\theta}\right \vert=\left \vert\rho\cos\theta \right \vert\leq \rho,\]

da cui, per il teorema del confronto,

    \[\lim_{\rho\to0^+} \tilde{g}(\rho,\theta) = 0.\]

Pertanto possiamo affermare che [1], per il teorema del confronto, (2) è uguale a 0.
Quindi concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}=1.}\]

 

 

1. Siano f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \ell \in \mathbb{R} e (x_0, y_0) un punto di accumulazione per \Omega. Se esistono R > 0 e una funzione h:(0,R) \to \mathbb{R} tali che:

    \[\left\vert f\left(x_0 + \rho \cos\left(\theta\right), y_0 + \rho \sin\left(\theta\right)\right) - \ell\right\vert \leq h\left(\rho\right) \quad \forall\theta \in [0,2\pi),\ \rho \in (0,R)\]

e

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+}h(\rho)=0,\]

allora si ha:

    \[\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = \ell.\]

 

 

 

Fonte: clicca qui.