Esercizio 51 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 51   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4+x^3y^3}{x^8+y^8+x^9-y^9}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,x^8+y^8+x^9-y^9\neq 0\}\rightarrow \mathbb{R} tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{x^4+y^4+x^3y^3}{x^8+y^8+x^9-y^9}.\]

Proviamo due semplici restrizioni per capire cosa succede: poniamo x=0 ottenendo

    \[f(0,y)=\dfrac{y^4}{y^8-y^9}=\dfrac{1}{y^4\left( 1-y\right)},\]

quindi (1) diventa

    \[\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{1}{y^4\left( 1-y\right)}=+\infty.\]

Ora proviamo la restrizione y=0

    \[f(x,0)=\dfrac{x^4}{x^8+x^9}=\dfrac{1}{x^4\left(1+x\right)},\]

dunque

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x^4\left(1+x\right)}=+\infty.\]

Lungo entrambe le restrizioni, il risultato è +\infty e questo ci fa pensare che effettivamente (1) possa divergere positivamente.
Proviamo a dimostrare quanto detto passando in coordinate polari, cioè

    \[\begin{aligned} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)=\tilde{f}(\rho,\theta)=&\dfrac{\rho^4\cos^4\theta+\rho^4\sin^4\theta+\rho^6\cos^3\theta\sin^3\theta}{\rho^8\cos^8\theta+\rho^8\sin^8\theta+\rho^9\cos^9\theta-\rho^9\sin^9\theta}=\\\\ &=\dfrac{1}{\rho^4}\cdot\dfrac{\cos^4\theta+\sin^4\theta+\rho^2\cos^3\theta\sin^3\theta}{\cos^8\theta+\sin^8\theta+\rho\left( \cos^9\theta-\sin^9\theta\right) }. \end{aligned}\]

Tentiamo di minorare \tilde{f} con qualche funzione che dipende solo da \rho.
Per prima cosa osserviamo che

    \[\min_{[0,2\pi)}\{\cos^4\theta+\sin^4\theta\}= \dfrac{1}{2} \quad \text{e}\quad \min_{[0,2\pi)}\{\cos^3\theta\sin^3\theta\}= -\dfrac{1}{8},\]

da cui

    \[\cos^4 \theta +\sin^4 \theta +\rho^2\cos^3 \theta \sin^3\theta \geq \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\rho^2,\]

per ogni \theta \in [0,2\pi) e \rho>0. Inoltre, si ha

    \[\cos^8 \theta +\sin^8 \theta< 2\quad \text{e}\quad \cos^9 \theta -\sin^9 \theta< 2,\]

quindi

    \[\cos^8\theta+\sin^8\theta+\rho\left( \cos^9\theta-\sin^9\theta\right)\leq 2+2\rho.\]

Pertanto, prendendo \rho sufficientemente piccolo, abbiamo

    \[\tilde{f}(\rho,\theta)\geq\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\rho^2}{2+2\rho}.\]

Calcoliamo

    \[\lim_{\rho \to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\rho^2}{2\rho^4\left(1+\rho\right)}=+\infty.\]

Pertanto per il teorema del confronto si ha

    \[\lim_{\rho \rightarrow0^+}\tilde{f}(\rho,\theta)=+\infty,\]

ovvero

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4+x^3y^3}{x^8+y^8+x^9-y^9}=+\infty.}\]