Esercizio 50 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 50   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{xy}-\cos \left(2xy\right)}{x^2-x^4+y^2 }. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia

    \[f:\Omega=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,x^2-x^4+y^2 \neq 0\right\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{e^{xy}-\cos \left(2xy\right)}{x^2-x^4+y^2 }.\]

Osserviamo che

    \[\ e^{xy}-\cos \left(2xy\right)= xy+o\left(xy\right)\quad \text{per}\,\, (x,y)\rightarrow (0,0),\]

da cui

    \[\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{xy}-\cos \left(2xy\right)}{x^2-x^4+y^2 }=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{xy+o\left(xy\right)}{x^2-x^4+y^2 }=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\left(\dfrac{xy}{x^2-x^4+y^2 }\right).\]

Ora sia

    \[g:\Omega=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,x^2-x^4+y^2 \neq 0\right\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[g(x,y)=\dfrac{xy}{x^2-x^4+y^2}.\]

Proviamo la restrizione y=mx su g ottenendo

    \[g(x,mx)=\dfrac{mx^2}{x^2-x^4+m^2x^2}=\dfrac{m}{1+m^2}\left(1+o\left(1\right)\right) \quad \text{per}\,\, x \rightarrow 0.\]

La (1) diventa quindi:

    \[\lim_{x \rightarrow 0}g(x,mx)= \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{m}{1+m^2}\left(1+o\left(1\right)\right)=\dfrac{m}{1+m^2}.\]

Come si può osservare (1) varia il proprio risultato a seconda della restrizione scelta violando il teorema di unicità del limite, pertanto (1) non esiste.