Esercizio 49 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 49   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{\left \vert x \right \vert + y }. \end{equation*}

 

Svolgimento.   Sia

    \[f:\Omega=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\, x\geq0,y\neq-x \right\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{\left \vert x \right \vert + y }.\]

Poiché x\geq0, si ha

    \[f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{x + y }.\]

Restringiamo f lungo la curva y=-x+kx^{\frac{3}{2}}, con k>0 arbitrario, ottenendo

    \[f\left(x,-x+kx^{\frac{3}{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{x}\sin\left(-x+kx^{\frac{3}{2}}\right)}{x -x+kx^{\frac{3}{2}} }=\dfrac{\sqrt{x}\left(-x+o\left(x\right)\right)}{kx^{\frac{3}{2}}}=-\dfrac{1}{k}\left(1+o\left(1\right)\right)\quad \text{per}\,\,x \rightarrow 0^+.\]

Pertanto (1) diventa

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow 0^+}\,f\left(x,-x+kx^{\frac{3}{2}}\right)=\lim_{x \rightarrow 0^+} -\dfrac{1}{k}\left(1+o\left(1\right)\right)=-\dfrac{1}{k}\quad \text{con}\,\, k>0. \end{equation*}

Come si può osservare, (2) varia il proprio valore al variare della restrizione scelta e questo viola il teorema di unicità del limite, facendoci concludere che (1) non esiste.

 

fonte: ignota.