Esercizio 49 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

Home » Esercizio 49 limiti in due variabili

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 49  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{\left \vert x \right \vert + y }. \end{equation*}

 

Svolgimento.   Sia

    \[f:\Omega=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\, x\geq0,y\neq-x \right\}\rightarrow \mathbb{R}\]

tale che

    \[f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{\left \vert x \right \vert + y }.\]

Poiché x\geq0, si ha

    \[f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{x + y }.\]

Restringiamo f lungo la curva y=-x+kx^{\frac{3}{2}}, con k>0 arbitrario, ottenendo

    \[f\left(x,-x+kx^{\frac{3}{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{x}\sin\left(-x+kx^{\frac{3}{2}}\right)}{x -x+kx^{\frac{3}{2}} }=\dfrac{\sqrt{x}\left(-x+o\left(x\right)\right)}{kx^{\frac{3}{2}}}=-\dfrac{1}{k}\left(1+o\left(1\right)\right)\quad \text{per}\,\,x \rightarrow 0^+.\]

Pertanto (1) diventa

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow 0^+}\,f\left(x,-x+kx^{\frac{3}{2}}\right)=\lim_{x \rightarrow 0^+} -\dfrac{1}{k}\left(1+o\left(1\right)\right)=-\dfrac{1}{k}\quad \text{con}\,\, k>0. \end{equation*}

Come si può osservare, (2) varia il proprio valore al variare della restrizione scelta e questo viola il teorema di unicità del limite, facendoci concludere che (1) non esiste.

 

fonte: ignota.