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. Calcolare, se esiste, il seguente limite
![\[f:\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,\cos\left(x^2+y^2\right)>0,\,(x,y)\neq (0,0) \}\rightarrow \mathbb{R}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa9e0cfa64dcddd35ab9afa96140f692_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(x,y)=\dfrac{\ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^4}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e56f4ae1acce409612b839318dd1cf89_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{aligned} \ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)&=\ln\left(1-\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2+\dfrac{1}{24}\left(x^2+y^2\right)^4+o\left(\left(x^2+y^2\right)^4\right)\right)=\\\\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2+\dfrac{1}{24}\left(x^2+y^2\right)^4-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)^4 +o\left(\left(x^2+y^2\right)^4\right)=\\\\ & -\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2-\dfrac{1}{12}\left(x^2+y^2\right)^4+o\left(\left(x^2+y^2\right)^4\right)\quad\text{per}\,\,(x,y)\rightarrow(0,0), \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4089d4c64bd42ac9a0e61ec9ab6fa1f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{aligned} & \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^4}=\\\\ &= \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{-\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2-\dfrac{1}{12}\left(x^2+y^2\right)^4+\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2+o\left(\left(x^2+y^2\right)^4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^4}=\\\\ &= \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{-\dfrac{1}{12}\left(x^2+y^2\right)^4+o\left(\left(x^2+y^2\right)^4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^4}=-\dfrac{1}{12}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0171dbde8c9d02e43981341f158b0030_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^4}=-\dfrac{1}{12}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1db4b75adc7c2744f8a476c0b30ea26_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")