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Testi di esercizi sulla verifica dei limiti

Verifica del limite in funzioni

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Questa dispensa di esercizi tratta la verifica dei limiti attraverso l’uso della definizione. Per i relativi richiami teorici si rimanda ai richiami di teoria.

Dati una funzione f \colon A \to \mathbb{R} e x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, a quale valore “si avvicina f(x)” quando “x si avvicina a x_0“?

 
La nozione di limite permette di rispondere a tale domanda in maniera rigorosa. La chiave consiste appunto nel dare un significato preciso ai verbi “si avvicina”, in modo che i risultati siano coerenti con ciò che ci si aspetta.
È importante osservare che uno degli aspetti più importanti di tale teoria consiste nel definire il significato di questi concetti quando x_0 non appartiene al dominio di f, cioè quando f(x_0) non esiste.

L’obiettivo di trattare problemi come quelli posti sopra riveste notevole importanza pratica. La funzione f potrebbe infatti essere la temperatura di una barretta in funzione della posizione x, oppure la legge oraria di un corpo in movimento, che ne fornisce la posizione in funzione del tempo. Come anticipato, tali leggi potrebbero non essere definite in un determinato punto x_0, che potrebbe essere rispettivamente un estremo della barretta o un istante temporale in cui il modello fisico che ha generato la descrizione matematica f cessa di essere valido.

Risulta pertanto naturale studiare il comportamento del fenomeno fisico “in prossimità” di tali punti patologici, ponendosi dunque domande come “a cosa si avvicina la temperatura avvicinandosi all’estremo x_0?” oppure “verso quale posizione si avvicina il corpo per t che si avvicina al tempo t_0?”.

Vedremo che tutto ciò può essere ottenuto grazie alla nozione di limite. Negli esercizi si mostreranno numerosi esempi svolti sul significato di tale concetto illustrandolo nei vari casi che possono presentarsi. Ci occuperemo principalmente della verifica di un limite, cioè di mostrare che la definizione formale si applica ai casi proposti, in cui viene preliminarmente fornita al lettore la conoscenza del “valore limite” assunto da f. Si tratta cioè di un modo per familiarizzare con la definizione e verificare che effettivamente essa fornisce le risposte che, intuitivamente, ci aspettiamo da tale strumento.

Questa attività si contrappone, per certi versi, al calcolo dei limiti, in cui non si è a conoscenza del valore limite della funzione e lo scopo è quindi di determinarlo; quest’ultima attività è dunque una sorta di passo preliminare per la verifica. Ciononostante, spesso nella pratica è possibile servirsi di teoremi che permettono di effettuare entrambi i punti contemporaneamente. Tali argomenti sono tipicamente oggetto di uno studio successivo, che sarà quindi trattato in altre dispense, come la dispensa di esercizi sui limiti notevoli, esercizi sulle forme indeterminate e esercizi misti sui limiti.

 

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione costante definita da f(x)=3 per ogni x \in \mathbb{R}.

  1. Provare che \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=3, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. Provare che \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=3;
  3. Provare che \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=3.

 
Svolgimento esercizio 1
 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

    \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2 & \text{se $x \neq 0$}\\ 1 & \text{se $x = 0$}. \end{cases} \end{equation*}

Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x) = 2. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 2
 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti relativi alla funzione identità f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) =x per ogni x \in \mathbb{R}:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0}x=x_0, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty}x=+\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty}x=-\infty.

 
Svolgimento esercizio 3
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0;
  3. \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}.

 
Svolgimento esercizio 4
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).

Sia a>1. Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 0} a^x = 1;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = 0.

Cosa si può dire invece nel caso a \in (0,1)?

 
Svolgimento esercizio 5
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 1} \log x = 0;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log x = +\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log x = -\infty.

 
Svolgimento esercizio 6
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x^2-2x+1} = -\infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 7
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+e^x} = 0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 8
 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione per A e si supponga che \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty. Provare che si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 9
 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).
Provare, usando la definizione, che il limite

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \sin x \end{equation*}

non esiste.

 
Svolgimento esercizio 10
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).
Dimostrare che, per ogni x_0 \in \mathbb{R}, si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 11
 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, che vale

    \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} \log \left (\dfrac{2}{x-2} \right ) = - \infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 12
 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia \alpha>0. Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} x^\alpha = x_0^\alpha per ogni x_0 \in [0,+\infty);
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^\alpha=+\infty.

 
Svolgimento esercizio 13
 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*}\label{14:traccia} \lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^2+2} = + \infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 14
 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} \left(5x^2+2\right) = + \infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 15
 

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 3^+} e^{\frac{2}{3-x}} = 0;
  2. \displaystyle \lim_{x \to 3^-} e^{\frac{2}{3-x}} = +\infty.

 
Svolgimento esercizio 16
 

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 9}2\left(\log_3 \sqrt{x}-5\right) = -8. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 17
 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 3} \dfrac{x+1}{x-1} = 2. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 18
 

Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to -3}\dfrac{2}{\left(x+3\right)^2} = +\infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 19
 

Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2^x-1}{2^x}=1. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 20
 

Esercizio 21  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \left (\sqrt{-1+x^2}-x \right )=0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 21
 

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+5e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} =1. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 22
 

Esercizio 23  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 0} x \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) = 0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 23
 

Esercizio 24  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} x (2-\cos x) = -\infty. \end{equation*}

Cosa si può dire invece di \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x(1-\cos x)?

 
Svolgimento esercizio 24
 

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