Testi di esercizi misti sui limiti

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Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi sui limiti. Questo documento è il naturale prosieguo della dispensa di esercizi sui limiti notevoli, in quanto al suo interno troverete una selezione accurata di esercizi misti che partono da un livello elementare fino ad arrivare ad un livello avanzato, concludendosi con esercizi di stampo teorico. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo.

Auguriamo una piacevole lettura e un proficuo apprendimento! Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense di teoria sui limiti notevoli e alla dispensa sui simboli di Landau. Si consiglia, prima di svolgere questi esercizi, di svolgere gli esercizi misti sui limiti notevoli e gli esercizi sulle forme indeterminate.

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3-3x}{x^2+1-2x^3};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^3-3x-2}{x^4+2x^3-8x^2-18x-9};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin(\sin x)}{x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x-1}{\displaystyle\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)^2}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 1

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\cdot\sin\dfrac{1}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2+2x}+x);\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin(4x)}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 2

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^x;\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow e}(\log x)^{\frac{1}{x-e}};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x\cos x)}{x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\log(\cos x)}{x^2};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sinh x}{x}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 3

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4-x^3+1}{\sqrt{x}+x^2-x^3};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{x^3}{3x^2-4}-\dfrac{x^2}{3x+2}\right);\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2x^3-5x^2-4x+12}{x^4-4x^3+5x^2-4x+4};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x^4}{\sin^2 x^2}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 4

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}\cdot\sin\dfrac{1}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\pi^x-3^x}{x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{3x}-\sqrt{1-x}}{\sin x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^3-x^2+4x}{x^5-x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos 2x}{\sin^2 3x}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 5

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\displaystyle x-\dfrac{\pi}{2}};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{5+\cos x}}{x^2+1};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{2x^3}-x^6}{4x^6-\sqrt{x^4+x^3}};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x\log^5 x+\sqrt[4]{x}\log x}{\sqrt{x}};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\sqrt{4+x}-1\right)^{\frac{1}{e^x-1}}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 6

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x \to +\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^2};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1-4x^2+x^4}-1+x^2}{x^4};\\[10pt] &3.\quad \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{-\cos(2x) \; \sqrt{2} \cos(x+\frac{\pi}{4})}{(\ln(\tan x))^2};\\[10pt] &4.\quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left \vert \tan x\right \vert ^{2x-\pi};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to+\infty}x\left(\arctan x-\dfrac{\pi}{2}\right).\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 7

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x\to0}\left(2e^x-e^{2x}\right)^{1/x^2};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x\to0^+} (x+\cos x)^{\frac{1}{x}};\\[10pt] &3.\quad \lim_{x\to0^+}\dfrac{\arccos(1-x^2)}{x};\\[10pt] &4.\quad \lim_{x\to a}\left(2-\dfrac{x}{a} \right)^{\displaystyle\tan\left(\frac{\pi x}{2a} \right)}, \qquad a \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\sin x)^x-1}{x^x-1}.\end{aligned}$

Svolgimento esercizio 8

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{2\arctan x}{\pi} \right)^{\pi x};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x \to +\infty} \left(\underbrace{\sqrt{ x +\sqrt{x +\dots + \sqrt{x}}}}_{n-volte}-\sqrt{x}\right);\\[10pt] &3.\quad \lim_{x \to +\infty} \left(3^{\dfrac{1}{x}}\sqrt{x^2+x+1}-x\right) ;\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2+\lambda}+x\right), \qquad \lambda \in \mathbb{R};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left((\log(\log(x))^{\log x} - x (\log x)^{\log(\log x)} \right) \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 9

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin 4x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(\sqrt{2})^x-1}{2x+\sin x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{\sin^3 x}-1}{\log(1-x^3)};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos 2x}{\log(1-x)+\log(1+x)}; \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 10

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{\cos^2 x-1}-\sin x-1}{\tan x(1+\cos x)};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\log(\cos x)}{x^2};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+3\sin 2x}{x-2\sin 3x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{\tan^3 x}-1}{x\left(\cos x-e^{x^2}\right)};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(\pi\cos x)}{x\sin x}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 11

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{9+\sin(2^x-1)}-3}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+\sin^2 x}-\cos x}{\log(1+\sin^2 x)},\qquad n\in \mathbb{N} \setminus\{0\};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\tan x}}-\sqrt[3]{2}\cos x}{3^{\sin x}-\cos x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle\log\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}- \sqrt[3]{\left(\cos\sqrt{x}\right)}+1\right)\right)}{e^{\cos(\sin x)}-e^{\sqrt[4]{1+x^2}}};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{1+3\sin\left(\dfrac{2}{x}\right)+5x+x^2}+x\sqrt{1+7\sin \left(\dfrac{3}{x} \right)} \right). \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 12

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Siano $k>1$ e $p\geq 2$ due numeri interi e sia $(x_n)_{n\in \mathbb{N})$ una successione di numeri reali positivi tale che

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{\sqrt[p]{n}}= L \in (0,+\infty).$

Si calcoli

$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{x_n+x_{n+1}+\dots+x_{kn}}{n x_n}.$

Svolgimento esercizio 13

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Sia $n\geq 1$ un numero naturale e si definisca

$f_n(x) = x^{x^{x^{\dots^{x}}}},$

dove il numero delle $x$ in $f_n$ è pari ad $n$ (ad esempio, $f_1(x) =x$ , $f_2(x)=x^x$ , $f_3(x)=x^{x^x}$ , e così via).
Si calcoli il limite

$\lim_{x \to 1} \dfrac{f_n(x) - f_{n-1}(x)}{(1-x)^n}.$

Svolgimento esercizio 14

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Sia $f :\mathbb{R} \to \matbb{R}$ una funzione derivabile due volte con derivata seconda continua tale che

$\lim_{x \to +\infty} f''(x) = 0.$

Si provi che

$\lim_{n\to + \infty} (f(n+1) - 2f(n) + f(n-1)) = 0.$

Svolgimento esercizio 15

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ derivabile, si mostri con un esempio che l’esistenza dei due limiti

$\lim_{{x\to +\infty}}f^\prime (x)=m$

$\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-mx\right)=q,$

non implica l’esistenza del limite

$\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-xf^\prime(x)\right).$

Svolgimento esercizio 16

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Sia $f$ : $\mathbb{R}\to (0,+\infty)$ tale che $f(0)=1$ . Supponiamo che $f^\prime$ esista in un intorno di $x=0$ e che sia continua in $x=0$ , si mostri che

$\lim_{x\to 0 }\left(f(x)\right)^{1/x}=e^{f^\prime(0)}.$

Svolgimento esercizio 17

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Sia $f$ : $(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una funzione derivabile con $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f^\prime(x)=0$ . Si mostri che

$\lim_{{x\to +\infty}}\left(f(x+1)-f(x)\right)=0.$

Svolgimento esercizio 18

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ .
Siano

$f_1(x)=\lfloor x^2\rfloor,\,f_2(x)=\lfloor-x^2\rfloor ,\,f_3(x)=\lfloor x^3\rfloor \quad (x\in\mathbb{R}),$

dove $\lfloor \cdot \rfloor$ è la funzione “parte intera”, che associa ad ogni $x\in \mathbb{R}$ il più grande intero $\le x$ . Calcolare, se esistono:

$\lim_{x\to0}f_1(x),\quad \lim_{x\to0}f_2(x),\quad \lim_{x\to0}f_3(x).$

Svolgimento esercizio 19

Gianluca Ruggeri

26/10/2023

Mi sono imbattuto nel sito preparando analisi 1. Il materiale è di qualità e spiegato molto bene. Assolutamente consigliato.

Filippo Marchisio

19/10/2023

Un sito veramente completo che cresce ogni giorno. Materiale curato nella sostanza ed efficace nella grafica

Sandra Vigliarolo

18/10/2023

Una svolta per gli esami! Sito ottimo e ben strutturato, navigazione intuitiva ! ho chiarito molti dubbi e ringrazio il prof. Valerio per avermi aiutata su alcune problematiche..come avere un insegnante privato al mio fianco! grazie!!

Preparazione 2.0

27/09/2023

Ottimo sito su cui trovare materiale ben fatto e meticolosamente revisionato. Consigliatissimo!

Domenico Leotta (domeleo)

17/09/2023

Un validissimo aiuto per chi, come me, vuole essere sempre più preparato su argomenti scientifici.

Lorenzo Benzi

15/09/2023

Grazie al professor valerio sono riuscito a preparami per ingegneria, con lui ho affrontato i primi esami , ho passato analisi grazie al professor Valerio. Il professor Valerio è una persona d’oro, molto simpatica, molto esigente , ma sopratutto sà trasmettere positività.Consiglio vivamente .

Daniele Massaro

14/09/2023

Sito estremamente utile per chi sta affrontando lo studio di materie scientifiche. È possibile trovare molto materiale, tra cui esercizi risolti e guidati.

Valerio Michieli

03/09/2023

Consiglio estremamente quest’esperienza. Ho utilizzato questo sito per preparare diversi esami, tra cui “Matematica Generale”. Materiale molto utile e di qualità!

Maurizio Marino

01/09/2023

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