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Esercizi misti sui limiti – 8

Esercizi misti sui Limiti

Home » Esercizi misti sui limiti – 8

Presentiamo qui l’ottavo articolo della raccolta di esercizi misti sui limiti. Segnaliamo anche l’articolo precedente esercizio sui limiti – 7 e il successivo esercizio sui limiti – 9, per ulteriore materiale su questo argomento.

 

Esercizi sui limiti – 8: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Sara Sottile.

Revisori: Silvia Lombardi.

 

Esercizi sui limiti – 8: richiami teorici

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Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per la teoria completa, rimandiamo alle dispense di Teoria sui limiti, sui simboli di Landau e a quella sulle forme indeterminate.

Teorema 1. 

Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

\[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

\[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione. 

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

\[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

 

 

Teorema 3 – Teorema di L’Hôpital. 

Siano A\subset \mathbb{R} e x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm\infty\} punto di accumulazione per A. Siano f,g:A\setminus \{x_0\}\rightarrow \mathbb{R} derivabili nel loro dominio e inoltre si supponga g^\prime(x)\neq0 \, \, \forall x \in I \setminus \{x_0\} . Se f,g sono entrambe infinitesime o infinite per x \rightarrow x_0 e se esiste il seguente limite

\[\lim_{x \rightarrow x_0}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=\ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm\infty\},\]

allora

\[\lim_{x \rightarrow x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\ell.\]

 

Esercizi sui limiti – 8: testi

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x\to0}\left(2e^x-e^{2x}\right)^{1/x^2};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x\to0^+} (x+\cos x)^{\frac{1}{x}};\\[10pt] &3.\quad \lim_{x\to0^+}\dfrac{\arccos(1-x^2)}{x};\\[10pt] &4.\quad \lim_{x\to a}\left(2-\dfrac{x}{a} \right)^{\displaystyle\tan\left(\frac{\pi x}{2a} \right)}, \qquad a \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\sin x)^x-1}{x^x-1}.\end{aligned}\]

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