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Esercizi misti sui limiti – 2

Esercizi misti sui Limiti

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Esercizi misti sui limiti – 2

Presentiamo qui il secondo articolo della raccolta di esercizi misti sui limiti. Segnaliamo anche l’articolo precedente esercizio sui limiti – 1 e il successivo esercizio sui limiti – 3, per ulteriore materiale su questo argomento.

 

Esercizi sui limiti – 2: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Sara Sottile.

Revisori: Silvia Lombardi.

 

Esercizi sui limiti – 2: richiami teorici

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Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense di teoria sui limiti notevoli , alla dispensa sui simboli di Landau e a quella sulle forme indeterminate.

Teorema 1 – Teorema dei carabinieri. 

Siano f,g, h \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) \eqqcolon \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}\]

e che in un intorno di x_0, denotato con I(x_0) si abbia

    \[f(x) \le g(x) \le h(x), \qquad \forall x \in I(x_0)\setminus\{x_0\}.\]

Allora

    \[\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell.\]

 

Teorema 2. 

Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 3 – Teorema di sostituzione. 

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]


 

 

Esercizi sui limiti – 2: testi

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

    \[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\cdot\sin\dfrac{1}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2+2x}+x);\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin(4x)}.\end{aligned}\]

 

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che il limite si presenta come una forma indeterminata [\infty \cdot 0]. Ponendo t=1/x, per il teorema 3, abbiamo

    \[\lim_{x\rightarrow+\infty}x\cdot\sin\frac{1}{x}= \lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=1.\]

Svolgimento punto 2.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

    \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x}&= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-2\cos^2 x+1}{1-\cos x}\\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(\cos x-\cos^2 x)+(1-\cos^2 x)}{1-\cos x}\\ &= \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\cos x(1-\cos x)}{1-\cos x}+\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1-\cos x}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}(1+2\cos x)=3. \end{aligned}\]

Svolgimento punto 3.

Il limite si presenta nella forma [\infty-\infty] e per eliminarla moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt{x^2+2x}-x. Procediamo nel modo seguente:

    \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow-\infty}({x^2+2x}+x)&= \lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2+2x}+x)\cdot\frac{\sqrt{x^2+2x}-x}{\sqrt{x^2+2x}-x}\\ &=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}-x}\\ &=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{\displaystyle |x|\sqrt{1+\frac{2}{x}}-x}\\ &=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{|x|-x}\\ &=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-2x}=-1. \end{aligned}\]

Si noti |x| = -x, poiché x\to -\infty e dunque si può assumere che x<0.

Svolgimento punto 4.

Osserviamo che il limite si presenta come una forma indeterminata [\frac{0}{0}]. Abbiamo

    \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow-1}\frac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}&= \lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(\sqrt{6x^2+3}-3x)}{(\sqrt{6x^2+3}+3x)(\sqrt{6x^2+3}-3x)}\\ &=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(\sqrt{6x^2+3}-3x)}{6x^2+3-9x^2}\\ &=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(\sqrt{6x^2+3}-3x)}{3-3x^2}\\ &=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(\sqrt{6x^2+3}-3x)}{3(1-x)(1+x)}\\ &=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(\sqrt{6x^2+3}-3x)}{3(1-x)}=1. \end{aligned}\]

Svolgimento punto 5.

Osserviamo che il limite si presenta come una forma indeterminata [\frac{0}{0}]. Con la sostituzione t=x-\pi/4, utilizzando il teorema 3, si ha:

    \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\sin(4x)}&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{\displaystyle\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)- \cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin(4t+\pi)}\\ &=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\displaystyle\sin t\cos\frac{\pi}{4}+\cos t\sin\frac{\pi}{4}-\cos t\cos\frac{\pi}{4}+\sin t\sin\frac{\pi}{4}}{-\sin 4t}\\ &=-\frac{\sqrt{2}}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t+\cos t-\cos t+\sin t}{2\sin 2t\cos 2t}\\ &=-\frac{\sqrt{2}}{4}\lim_{t\rightarrow0}\frac{2\sin t}{2\sin t\cos t\cos 2t}\\ &= -\frac{\sqrt{2}}{4}\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{\cos t\cos 2t}=-\frac{\sqrt{2}}{4}. \end{aligned}\]

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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  20. Equazioni differenziali lineari
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    1. Curiosità e approfondimenti
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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


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Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
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