Esercizi misti limiti 16

Esercizi misti sui Limiti

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Testi degli esercizi

Esercizio 16   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Sia f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} derivabile, si mostri con un esempio che l’esistenza dei due limiti

    \[\lim_{{x\to +\infty}}f^\prime (x)=m\]

e

    \[\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-mx\right)=q,\]

non implica l’esistenza del limite

    \[\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-xf^\prime(x)\right).\]

Svolgimento.

Consideriamo la funzione f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} cos\`i definita:

    \[f(x) = \begin{cases}\dfrac{\sin(x)}{x} & x \ne 0; \\ 1 & x = 0.\end{cases}\]

Per x \ne 0 (tanto siamo interessati al caso x \to +\infty), si ha:

    \[f'(x) = \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}\]

Quindi:

    \[|f'(x)| = \left|\frac{\cos(x)}{x} + \frac{\sin(x)}{x^2}\right| \leqslant \frac{|\cos(x)|}{x}+\frac{|\sin(x)|}{x^2} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}.\]

Per il teorema del confronto, si conclude che \lim f'(x) = m = 0 per x \to +\infty. Seguendo un ragionamento simile, si trova anche che:

    \[\lim_{x\to+\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0.\]

Osserviamo per\`o che non esiste \lim (f(x)-xf'(x)) per x \to +\infty, infatti:

    \[f(x)-xf'(x) = \frac{\sin(x)}{x} - \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x} = \frac{2\sin(x)}{x}-\cos(x).\]

Per x \to +\infty, il termine 2\sin(x)/x tende a 0, ma il secondo termine \cos(x) non ammette limite, e di conseguenza non esiste \lim (f(x)-xf'(x)).