Esercizi misti limiti 18

Esercizi misti sui Limiti

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Testi degli esercizi

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Sia f: (0,+\infty)\to\mathbb{R} una funzione derivabile con \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f^\prime(x)=0. Si mostri che

    \[\lim_{{x\to +\infty}}\left(f(x+1)-f(x)\right)=0.\]

Svolgimento.

Applicando il teorema di Lagrange alla funzione f sull’intervallo [x,x+1], sappiamo che esiste un punto c = c(x) \in (x,x+1) tale che:

    \[f'(c) = \frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} = f(x+1)-f(x).\]

Dato che x < c(x) < x+1, per il teorema del confronto si ha \lim c(x) = +\infty per x \to + \infty, e quindi:

    \[\lim_{x\to+\infty} (f(x+1)-f(x)) = \lim_{x\to+\infty} f'(c) = \lim_{x\to+\infty} f'(x) = 0.\]