Forme indeterminate successioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sulle forme indeterminate nei limiti di successioni. In questo articolo proponiamo 20 esercizi di varia difficoltà sul calcolo di limiti di successioni che presentino delle forme indeterminate. I problemi sono corredati di soluzione completa e offrono quindi una panoramica ampia delle principali tecniche risolutive, risultando così un ottimo banco di prova per la propria preparazione in vista dell’esame di Analisi Matematica 1.

Oltre alla risorsa completa sulla Teoria sulle Successioni, consigliamo le ulteriori raccolte di esercizi su questo argomento:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa raccoglie 20 esercizi sul calcolo dei limiti di successioni. Non include esercizi sui limiti notevoli. Gli esercizi proposti sono progettati per introdurre gradualmente lo studente al tema dei limiti, partendo da esempi di base fino a esercizi di livello intermedio. Ogni passaggio della risoluzione è dettagliatamente esplicitato, senza dare nulla per scontato. Gli ultimi due esercizi hanno un contenuto di natura teorica, offrendo un’opportunità per approfondire gli aspetti concettuali del tema.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Matteo Talluri.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 - 5n}{5n^2 + 2n - 6}.$

Svolgimento.

Per calcolare il limite

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 - 5n}{5n^2 + 2n - 6},$

si divide numeratore e denominatore per $n^2$ , il termine di grado massimo. In questo modo, la successione diventa

$\dfrac{3 - \dfrac{5}{n}}{5 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{6}{n^2}}.$

Poiché i termini $\dfrac{5}{n}$ , $\dfrac{2}{n}$ e $\dfrac{6}{n^2}$ tendono a zero per $n \to +\infty$ , il limite vale $\dfrac{3}{5}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty}\left( \frac{n(n+2)}{n+1} - \frac{n^3}{n^2+1}\right).$

Svolgimento.

Osserviamo che:

$\dfrac{n(n+2)}{n+1} - \dfrac{n^3}{n^2+1} = \dfrac{n(n+2)(n^2+1) - n^3(n+1)}{(n+1)(n^2+1)}.$

Calcoliamo

$n(n+2)(n^2+1) = n(n^3 + 2n^2 + n + 2) = n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n,$

$n^3(n+1) = n^4 + n^3,$

da cui

$n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n - (n^4 + n^3) = n^4 - n^4 + 2n^3 - n^3 + n^2 + 2n = n^3 + n^2 + 2n.$

La successione si riscrive come:

$\dfrac{n^3 + n^2 + 2n}{(n+1)(n^2+1)}.$

Per calcolare il limite, dividiamo numeratore e denominatore per $n^3$ (il termine di grado massimo):

$\dfrac{n^3 + n^2 + 2n}{(n+1)(n^2+1)} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^2}}{(1 + \dfrac{1}{n})(1 + \dfrac{1}{n^2})}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{1}{n}$ , $\dfrac{2}{n^2}$ , e $\dfrac{1}{n^2}$ tendono a zero, quindi

$\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n(n+2)}{n+1} - \dfrac{n^3}{n^2+1} \right)=1.$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right).$

Svolgimento.

Per calcolare il limite

$\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right),$

si razionalizza moltiplicando e dividendo per $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ . Si ottiene:

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$

Nel numeratore, applichiamo la differenza di quadrati:

$\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \right) = (n+1) - n = 1.$

La successione si riscrive come:

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$

Passando al limite, si ottiene:

$\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)=0.$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 4n}{2n - 1}.$

Svolgimento.

Per il limite

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 + 4n}{2n - 1},$

dividiamo numeratore e denominatore per $n$ , ottenendo

$\dfrac{3n + 4}{2 - \dfrac{1}{n}}.$

Per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{4}{n}$ e $\dfrac{1}{n}$ tendono a zero. Pertanto, il limite è

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 + 4n}{2n - 1}=+\infty.$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{2n - 3}{3n + 7} \right)^4.$

Svolgimento.

Dividiamo numeratore e denominatore per $n$

, il termine di grado massimo:

$\dfrac{2n - 3}{3n + 7} = \dfrac{2 - \dfrac{3}{n}}{3 + \dfrac{7}{n}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{3}{n}$ e $\dfrac{7}{n}$ tendono a zero, quindi la frazione diventa:

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n - 3}{3n + 7}=\dfrac{2}{3},$

da cui deduciamo che

$\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2n - 3}{3n + 7}\right)^4=\left( \dfrac{2}{3} \right)^4 = \dfrac{16}{81}.$

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n^5 - 4n^2}{3n^5 + n^3 - 10}.$

Svolgimento.

Dividiamo numeratore e denominatore per $n^5$

, il termine di grado massimo:

$\dfrac{2n^5 - 4n^2}{3n^5 + n^3 - 10} = \dfrac{2 - \dfrac{4}{n^3}}{3 + \dfrac{1}{n^2} - \dfrac{10}{n^5}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{4}{n^3}$ , $\dfrac{1}{n^2}$ , e $\dfrac{10}{n^5}$ tendono a zero, quindi:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n^5 - 4n^2}{3n^5 + n^3 - 10}=\dfrac{2}{3}.$

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 + 2 \cdot 10^n}{5 \cdot 10^n + 3}.$

Svolgimento.

Dividiamo numeratore e denominatore per $10^n$

, il termine di grado massimo:

$\dfrac{1 + 2 \cdot 10^n}{5 \cdot 10^n + 3} = \dfrac{\dfrac{1}{10^n} + 2}{5 + \dfrac{3}{10^n}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{1}{10^n}$ e $\dfrac{3}{10^n}$ tendono a zero, pertanto:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 + 2 \cdot 10^n}{5 \cdot 10^n + 3}=\dfrac{2}{5}.$

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4 - 2n - 3n^2}{2n^2 + n}.$

Svolgimento.

Dividiamo numeratore e denominatore per $n^2$

, il termine di grado massimo:

$\dfrac{4 - 2n - 3n^2}{2n^2 + n} = \dfrac{\dfrac{4}{n^2} - \dfrac{2}{n} - 3}{2 + \dfrac{1}{n}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{4}{n^2}$ , $\dfrac{2}{n}$ , e $\dfrac{1}{n}$ tendono a zero, di conseguenza:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4 - 2n - 3n^2}{2n^2 + n} = -\dfrac{3}{2}.$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[3]{\dfrac{(3 - \sqrt{n})(\sqrt{n} + 2)}{8n - 4}}.$

Svolgimento.

Riscriviamo il numeratore come di seguito:

$(3 - \sqrt{n})(\sqrt{n} + 2) = 3\sqrt{n} + 6 - n - 2\sqrt{n} = \sqrt{n} - n + 6.$

Quindi, riscriviamo la successione come di seguito:

$\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{n} - n + 6}{8n - 4}}.$

Dividendo numeratore e denominatore per $n$ , si ottiene:

$\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{\sqrt{n}}{n} - 1 + \dfrac{6}{n}}{8 - \dfrac{4}{n}}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{\sqrt{n}}{n}$ , $\dfrac{6}{n}$ , e $\dfrac{4}{n}$ tendono a zero, quindi:

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[3]{\dfrac{(3 - \sqrt{n})(\sqrt{n} + 2)}{8n - 4}}= \sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}} = -\dfrac{1}{2}.$

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{3n^2 - 5n + 4}}{2n - 7}.$

Svolgimento.

Nel numeratore, il termine dominante è $n$

. Dividendo numeratore e denominatore per $n$

$\dfrac{\sqrt{3n^2 - 5n + 4}}{2n - 7} = \dfrac{\sqrt{3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{4}{n^2}}}{2 - \dfrac{7}{n}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{5}{n}$ , $\dfrac{4}{n^2}$ , e $\dfrac{7}{n}$ tendono a zero, lasciando:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{3n^2 - 5n + 4}}{2n - 7}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4 \cdot 10^n - 3 \cdot 10^{2n}}{3 \cdot 10^{n-1} + 2 \cdot 10^{2n-1}}.$

Svolgimento.

Il termine dominante sia nel numeratore che nel denominatore è $10^{2n}$

. Dividiamo e moltiplichiamo per $10^{2n}$

$\dfrac{\dfrac{4 \cdot 10^n}{10^{2n}} - \dfrac{3 \cdot 10^{2n}}{10^{2n}}}{\dfrac{3 \cdot 10^{n-1}}{10^{2n}} + \dfrac{2 \cdot 10^{2n-1}}{10^{2n}}}.$

Semplificando:

$\dfrac{\dfrac{4}{10^n} - 3}{\dfrac{3}{10\,10^n} + \dfrac{2}{10}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{4}{10^n}$ , $\dfrac{3}{10\,10^n}$ , e $\dfrac{1}{10^n}$ tendono a zero, lasciando:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4 \cdot 10^n - 3 \cdot 10^{2n}}{3 \cdot 10^{n-1} + 2 \cdot 10^{2n-1}}. \dfrac{-3}{\dfrac{1}{5}} = -15.$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty}\left( \sqrt{n^2 + n} - n\right).$

Svolgimento.

Razionalizziamo moltiplicando e dividendo per il coniugato $\sqrt{n^2 + n} + n$

$\sqrt{n^2 + n} - n = \dfrac{\left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)\left( \sqrt{n^2 + n} + n \right)}{\sqrt{n^2 + n} + n}.$

Nel numeratore applichiamo la differenza di quadrati:

$\left( \sqrt{n^2 + n} \right)^2 - n^2 = n^2 + n - n^2 = n.$

Quindi la successione diventa:

$\dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}.$

Dividendo numeratore e denominatore per $n$ , si ottiene:

$\dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , $\dfrac{1}{n}$ tende a zero, si giunge ad:

$\lim_{n \to +\infty}\left( \sqrt{n^2 + n} - n\right)= \dfrac{1}{2}.$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \left( 2^n + 3 \right)^{1/n}.$

Svolgimento.

Raccogliamo $2^n$

, ottenendo:

$\left( 2^n + 3 \right)^{1/n} = \left( 2^n \cdot \left( 1 + \dfrac{3}{2^n} \right) \right)^{1/n}.$

Usando le proprietà delle potenze, si ha:

$\left( 2^n \cdot \left( 1 + \dfrac{3}{2^n} \right) \right)^{1/n} = 2 \cdot \left( 1 + \dfrac{3}{2^n} \right)^{1/n}.$

Per $n \to +\infty$ , $\dfrac{3}{2^n}$ tende a zero, da cui:

$\lim_{n\to+\infty}\left( 1+\dfrac{3}{2^n}\right)^{\frac{1}{n}}=1.$

Sfruttando quanto ottenuto, si conclude che:

$\lim_{n \to +\infty} \left( 2^n + 3 \right)^{1/n}=2.$

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{n^n}.$

Svolgimento.

Osserviamo che possiamo riscrivere $(2n)!$

come:

$\frac{(2n)!}{n^n} = \frac{2n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot \frac{2n-2}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{n+1}{n} \cdot n!.$

Ogni termine della forma $\dfrac{2n-k}{n}$ , con $k \geq 0$ , è maggiore di $1$ .

Quindi definitivamente, vale

$\frac{(2n)!}{n^n} > n!,$

e poiché $n!$ tende a $+\infty$ , concludiamo che:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{n^n} = +\infty.$

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 3n^{3/2} + \sqrt{n + 3} + 1}{5n^2 + \sqrt[3]{n} + 7}.$

Svolgimento.

Osserviamo che i termini di grado massimo al numeratore e al denominatore sono rispettivamente $n^2$

e $5n^2$

. Dividiamo tutto per $n^2$

, il termine di grado massimo:

$\frac{n^2 + 3n^{3/2} + \sqrt{n + 3} + 1}{5n^2 + \sqrt[3]{n} + 7} = \frac{1 + \dfrac{3}{\sqrt{n}} + \dfrac{\sqrt{n + 3}}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{5 + \dfrac{\sqrt[3]{n}}{n^2} + \dfrac{7}{n^2}}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{3}{\sqrt{n}}, \dfrac{\sqrt{n+3}}{n^2}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{\sqrt[3]{n}}{n^2}$ , e $\dfrac{7}{n^2}$ tendono a zero. Si conclude che:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 3n^{3/2} + \sqrt{n + 3} + 1}{5n^2 + \sqrt[3]{n} + 7}=\dfrac{1}{5}.$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{(n+1)! - (n-1)!}.$

Svolgimento.

Osserviamo che possiamo espandere i termini $(n+1)!$

e $(n-1)!$

come segue:

$(n+1)! = (n+1) \cdot n!,$

$(n-1)! = \frac{n!}{n}.$

Sostituendo, otteniamo:

$\frac{n!}{(n+1)! - (n-1)!} = \frac{n!}{(n+1)n! - \frac{n!}{n}}=\frac{1}{(n+1) - \frac{1}{n}}.$

Concludiamo che

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{(n+1)! - (n-1)!} = 0.$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{n-3}(n+3)! + n^{n-2}(n+2)!}{n! \cdot n^n}.$

Svolgimento.

Espandiamo i fattoriali $(n+3)!$

e $(n+2)!$

come segue:

$(n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)n!, \quad (n+2)! = (n+2)(n+1)n!.$

Sostituendo nel numeratore, otteniamo:

$\frac{n^{n-3}(n+3)(n+2)(n+1)n! + n^{n-2}(n+2)(n+1)n!}{n! \cdot n^n}.$

Fattorizziamo $n!$ e semplifichiamo:

$\begin{aligned} &\frac{n! \left[ n^{n-3}(n+3)(n+2)(n+1) + n^{n-2}(n+2)(n+1) \right]}{n! \cdot n^n} = \\ &\qquad = \frac{n^{n-3}(n+3)(n+2)(n+1)}{n^n} + \frac{n^{n-2}(n+2)(n+1)}{n^n}. \end{aligned}$

Semplifichiamo ogni termine separatamente. Il primo termine diventa:

$\frac{n^{n-3}(n+3)(n+2)(n+1)}{n^n} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{n^3}.$

Il secondo termine diventa:

$\frac{n^{n-2}(n+2)(n+1)}{n^n} = \frac{(n+2)(n+1)}{n^2}.$

Sommando i due termini, otteniamo:

$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{n^3} + \frac{(n+2)(n+1)}{n^2}.$

Per $n \to +\infty$ , facilmente, si ha :

$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{n^3} \to 1, \quad \frac{(n+2)(n+1)}{n^2} \to 1.$

Sommando i risultati, il limite è:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{n-3}(n+3)! + n^{n-2}(n+2)!}{n! \cdot n^n} = 1 + 1 = 2.$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(n-3)! \cdot n^n - (n+1)! \cdot n^{n-4}}{2(n-4)! \cdot (n^n - n! \log_4 n)}.$

Svolgimento.

Ricordiamo che con il simbolo $\sim$

si intende che due successioni sono asintotiche per $n\to+\infty$

, ovvero che il limite del loro rapporto fa 1, sempre per $n\to+\infty$

. Al numeratore, il termine $(n+1)! \cdot n^{n-4}$

può essere riscritto come $(n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \cdot n^{n-4}$

. Questo ci permette di esprimere il numeratore come $(n-3)! \cdot n^n - (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \cdot n^{n-4}$

. Al denominatore, il termine $n^n$

è un infinito di ordine maggiore rispetto ad $n! \log_4 n$

per $n \to +\infty$

(come mostrato nell’osservazione 2.1 di seguito a questa soluzione). Dunque, per $n\to+\infty$

, si ha che:

$\frac{(n-3)! \cdot n^n - (n+1)! \cdot n^{n-4}}{2(n-4)! \cdot (n^n - n! \log_4 n)}\sim \frac{(n-3)! \cdot n^n - (n+1)! \cdot n^{n-4}}{2(n-4)! \cdot n^n},$

da cui

$\frac{(n-3)! \cdot n^n - (n+1)! \cdot n^{n-4}}{2(n-4)! \cdot n^n} = \frac{(n-3)n^4 - (n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)}{2n^4}.$

Si osserva che:

$(n-3)n^4 - (n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3) = 2n^4-5n^3-5n^2+6n\sim 2n^4,.$

sempre per $n\to+\infty$ . Dunque, per il principio di sostituzione, abbiamo:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(n-3)! \cdot n^n - (n+1)! \cdot n^{n-4}}{2(n-4)! \cdot (n^n - n! \log_4 n)}=\lim_{n \to +\infty}.\frac{2n^4}{2n^4} = 1.$

Osservazione 2.1.

Per dimostrare che $n^n$

è un infinito di ordine maggiore rispetto a $n! \log_4 n$

, consideriamo la successione:

$a_n = \dfrac{n^n}{n! \log_4 n}.$

Applichiamo il criterio del rapporto, calcolando:

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.$

Scriviamo esplicitamente $a_{n+1}$ e $a_n$ , che sono rispettivamente:

$a_{n+1} = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \log_4 (n+1)}, \quad a_n = \dfrac{n^n}{n! \log_4 n}.$

Il rapporto diventa:

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \log_4 (n+1)}}{\dfrac{n^n}{n! \log_4 n}}.$

Semplificando, otteniamo:

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \log_4 (n+1)} \cdot \dfrac{n! \log_4 n}{n^n}.$

Espandiamo i termini $(n+1)^{n+1}$ e $(n+1)!$ , pertanto:

$(n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \quad (n+1)! = (n+1) \cdot n!.$

Sostituendo queste espressioni nel rapporto, si ha:

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1) \cdot n! \cdot \log_4 (n+1)} \cdot \dfrac{n! \cdot \log_4 n}{n^n},$

da cui

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \dfrac{\log_4 n}{\log_4 (n+1)}.$

Analizziamo i due termini separatamente:

1. Il primo termine è:

$\dfrac{(n+1)^n}{n^n} = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n.$

2. Il secondo termine è:

$\dfrac{\log_4 n}{\log_4 (n+1)}.$

Poiché $\log_4 (n+1)$ è asintoticamente equivalente a $\log_4 n$ per $n \to +\infty$ , il precedente termine tende a 1. Inoltre, ricordando che

$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n} \right)=e,$

si trova

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = e \cdot 1 = e.$

Poiché il limite è maggiore di 1 ( $e > 1$ ), possiamo concludere che $n^n$ è un infinito di ordine maggiore rispetto ad $n! \log_4 n$ , per $n\to+\infty$ .

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia $\{x_n\}_{n \geq 0}$

una successione di numeri reali positivi tale che

$\lim_{n \to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = L < 1.$

Dimostrare che

$\lim_{n \to +\infty} x_n = 0.$

Svolgimento.

Sia $\{x_n\}_{n \geq 0}$

una successione di numeri reali positivi tale che:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = L < 1.$

Per la definizione di limite, fissato $\varepsilon > 0$ , esiste $n_0 \in \mathbb{N}$ tale che, per ogni $n \geq n_0$ , si ha:

$L - \varepsilon < \frac{x_{n+1}}{x_n} < L + \varepsilon.$

Da questa relazione segue che:

$x_{n+1} < (L + \varepsilon)x_n.$

Iterando questa disuguaglianza $k$ volte, per $k \geq 1$ , si ottiene:

$x_{n_0 + k} < (L + \varepsilon)^k x_{n_0}.$

Ora, si sceglie $\varepsilon > 0$ in modo tale che $L + \varepsilon < 1$ . Ad esempio, ponendo $\varepsilon = \dfrac{1 - L}{2}$ , risulta $L + \varepsilon = \dfrac{1 + L}{2} < 1$ . Per tale scelta, il termine $(L + \varepsilon)^k$ tende a zero per $k \to +\infty$ .

Pertanto, si ha che:

$0 \leq x_{n_0 + k} < (L + \varepsilon)^k x_{n_0},$

e, per il teorema del confronto, si conclude che:

$x_{n_0 + k} \to 0 \quad \text{quando } k \to +\infty.$

Dunque, abbiamo

$\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{k \to +\infty} x_{n_0 + k} = 0,$

dove è stato fatto il cambio di variabile $n = n_0 + k$ .

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia $\{a_n\}_{n \geq 0}$

una successione di numeri reali positivi tale che

$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{n \ln(n)} = 1.$

$\quad$

Calcolare $\lim_{n \to +\infty} a_n$ e $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(a_n)}{n}$ .

Se $k$ è un numero intero positivo, quanto vale il limite $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{kn}}{a_n}$ ?

Svolgimento.

Sia $\{a_n\}_{n \geq 0}$

una successione di numeri reali positivi tale che

$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{n \ln(n)} = 1.$

Calcoliamo $\lim_{n \to +\infty} a_n$ e $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(a_n)}{n}$ .

Osserviamo che:

$a_n = \frac{a_n}{n \ln(n)} \cdot (n \ln(n)).$

Poiché $\dfrac{a_n}{n \ln(n)} \to 1$ , segue che:

$\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} (1 \cdot n \ln(n)) = +\infty.$

Per calcolare $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(a_n)}{n}$ , osserviamo che:

$\ln(a_n) = \ln\left(\frac{a_n}{n \ln(n)} \cdot n \ln(n)\right).$

Utilizzando le proprietà del logaritmo, si ha:

$\ln(a_n) = \ln\left(\frac{a_n}{n \ln(n)}\right) + \ln(n) + \ln(\ln(n)).$

Dividendo per $n$ , otteniamo:

$\frac{\ln(a_n)}{n} = \dfrac{\ln\left(\dfrac{a_n}{n \ln(n)}\right)}{n} + \dfrac{\ln(n)}{n} + \dfrac{\ln(\ln(n))}{n}.$

Passando al limite, osserviamo che:

$\frac{\ln\left(\dfrac{a_n}{n \ln(n)}\right)}{n} \to 0, \quad \frac{\ln(n)}{n} \to 0, \quad \frac{\ln(\ln(n))}{n} \to 0.$

Pertanto:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(a_n)}{n} = 0.$

Calcoliamo ora $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{kn}}{a_n}$ , dove $k$ è un numero intero positivo. Scriviamo:

$\dfrac{a_{kn}}{a_n} = \dfrac{\dfrac{a_{kn}}{(kn) \ln(kn)}}{\dfrac{a_n}{n \ln(n)}} \cdot \dfrac{(kn) \ln(kn)}{n \ln(n)}.$

Poiché $\dfrac{a_{kn}}{(kn) \ln(kn)} \to 1$ (osservazione 2.2) e $\dfrac{a_n}{n \ln(n)} \to 1$ , si ha:

$\frac{a_{kn}}{a_n} \sim \frac{(kn) \ln(kn)}{n \ln(n)}.$

Espandiamo $\ln(kn)$ utilizzando le proprietà del logaritmo:

$\ln(kn) = \ln(k) + \ln(n).$

Sostituendo, otteniamo:

$\frac{(kn) \ln(kn)}{n \ln(n)} = \frac{kn \left(\ln(k) + \ln(n)\right)}{n \ln(n)} = k \cdot \left(1 + \frac{\ln(k)}{\ln(n)}\right).$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , il termine $\dfrac{\ln(k)}{\ln(n)} \to 0$ , quindi:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{kn}}{a_n} = k.$

In conclusione:

$\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(a_n)}{n} = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{kn}}{a_n} = k.$

Osservazione 2.2.

Una successione converge al limite $\ell \in \mathbb{R}^\star$

se e solo se ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite $\ell$

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