Criterio del rapporto successioni – Esercizi

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi riguardanti il Criterio del rapporto per le successioni.
Il criterio del rapporto è uno strumento che consente in molti casi di stabilire la convergenza o la divergenza di una successione e termini positivi $a_n$ . Esso si basa sulla seguente intuizione: se il rapporto $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ tra il termine successivo e il precedente è molto vicino a una costante $\ell$ , si ha che $a_{n+1} \approx \ell a_n$ , ma anche che $a_{n+2} \approx \ell^2 a_n$ … Iterando questa approssimazione, si vede che la successione è paragonabile a una progressione geometrica di ragione $\ell$ che si sa essere divergente se $\ell>1$ e infinitesima se $\ell \in (0,1)$ . Risulta naturale quindi chiedersi se tale parallelo si mantiene se l’uguaglianza è vera solo al limite, ossia se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \ell$ .
La risposta è affermativa: il criterio del rapporto fornisce proprio tale strumento, che ci accingiamo ad applicare in questo articolo in 5 problemi di carattere misto, corredati di soluzione completa.

Oltre alla risorsa completa sulla Teoria sulle Successioni e all’articolo sul Criterio del rapporto per le successioni, consigliamo le ulteriori raccolte di esercizi su questo argomento:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa presenta 5 esercizi svolti sul criterio del rapporto.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente limite di successione applicando il criterio del rapporto

$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n!)^2}{n^n}.$

Svolgimento.

Si osserva che $b_n=\dfrac{(n!)^2}{n^n}$

è una successione a termini positivi quindi possiamo applicare il criterio del rapporto:

$\begin{aligned} &\lim_{n\to + \infty} \dfrac{b_n +1}{b_n}= \lim_{n\to+\infty} \dfrac{((n+1)!)^2}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{(n!)^2}\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+1)^2\cancel{(n!)^2}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{\cancel{(n!)^2}}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}}\cdot n^n\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^2 \left(1+ \dfrac{1}{n} \right)^2}{\cancel{n^n} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n n (1+o(1))}\cdot \cancel{n^n}=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^{\cancel{2}}(1+o(1))}{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n \cancel{n}}=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n(1+o(1))}{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{+\infty}{e}=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude per il criterio del rapporto che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n!)^2}{n^n}=+\infty.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente limite di successione applicando il criterio del rapporto

$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+1)!}{n^n}$

Svolgimento.

Si osserva che: $b_n=\dfrac{(n+1)!}{n^n}$

è una successione a termini positivi quindi applichiamo possiamo applicare il criterio del rapporto:

$\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty} \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+2)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{(n+1)!}=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+2)\cancel{(n+1)}\cancel{(n!)}}{\cancel{n^n} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n n(1+o(1))}\cdot \dfrac{\cancel{n^n}}{\cancel{(n+1)}\cancel{(n!)}}=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+2)}{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n n(1+o(1))}=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\cancel{n}(1+o(1))}{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n \cancel{n}(1+o(1))}=\dfrac{1}{e}<1. \end{aligned}$

Si conclude che per il criterio del rapporto

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+1)!}{n^n}=0.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se $\alpha >\beta>0$

, dire se la successione $a_n=\dfrac{(2^n)^\alpha}{(n!)^\beta}$

converge o diverge.

Svolgimento.

Applichiamo il criterio del rapporto:

$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{2^{(n+1)\alpha}}{\left((n+1)! \right)^{\beta}} \dfrac{(n!)^{\beta}}{2^{n\alpha}}= \lim_{n\to+\infty} \dfrac{2^{\alpha}}{(n+1)^{\beta}}=0 \quad \forall \alpha, \quad \beta>0$

Si conclude che per il criterio del rapporto:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2^{n\alpha}}{(n!)^{\beta}}=0 \quad \forall \alpha, \, \beta>0.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la seguente successione $a_n = \dfrac{n!}{2^n}$

, applicando il criterio del rapporto, si dica se converge o diverge.

Svolgimento.

Per la successione data, abbiamo $a_n = \dfrac{n!}{2^n}$

e $a_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{2^{n+1}}$

. Calcoliamo il rapporto:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{n+1}}}{\dfrac{n!}{2^n}} = \dfrac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \dfrac{2^n}{n!}.$

Semplificando otteniamo:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1) \cdot n!}{2 \cdot 2^n} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2}.$

Calcoliamo ora il limite per $n \to +\infty$ :

$L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) =+ \infty.$

Poiché $L =+\infty$ , il criterio del rapporto ci permette di concludere che la successione $a_n = \dfrac{n!}{2^n}$ diverge.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la seguente successione $a_n = \dfrac{n^n}{e^n \cdot n!}$

, applicando il criterio del rapporto, si dica se converge o diverge.

Svolgimento.

Per la successione in esame, abbiamo:

$a_n = \frac{n^n}{e^n \cdot n!}, \quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1} \cdot (n+1)!}.$

Calcoliamo ora il rapporto $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ :

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1} \cdot (n+1)!}}{\dfrac{n^n}{e^n \cdot n!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1} \cdot (n+1)!} \cdot \frac{e^n \cdot n!}{n^n}.$

Semplificando ed esprimendo $(n+1)!$ come $(n+1) \cdot n!$ , si ottiene:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1} \cdot (n+1) \cdot n!} \cdot \frac{e^n \cdot n!}{n^n}.$

Eliminando i fattori comuni, il rapporto diventa:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^n}{e^{n+1} \cdot n^n} \cdot e^n.$

Semplificando ulteriormente:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{e^n}{e^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{e}.$

Osserviamo ora il termine $\dfrac{(n+1)^n}{n^n}$ . Riscrivendolo come:

$\frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,$

notiamo che $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ converge a $e$ quando $n \to \infty$ . Pertanto, il limite $L$ diventa:

$L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{e} = \frac{e}{e} = 1.$

Poiché il limite $L = 1$ , il criterio del rapporto risulta inconcludente. Di conseguenza, è necessario ricorrere ad altri strumenti analitici per determinare la convergenza della successione. Tuttavia, un’analisi più approfondita del comportamento asintotico di $n!$ rispetto a $n^n$ permette di stabilire che $a_n \to 0$ per $n \to \infty$ , implicando la convergenza della successione. Procediamo come di seguito.

Consideriamo la successione $a_n = \dfrac{n^n}{e^n \cdot n!}$ e analizziamone la convergenza utilizzando l’approssimazione di Stirling. La formula di Stirling afferma che, per $n \to \infty$ ,

$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.$

Sostituendo questa approssimazione nella definizione di $a_n$ , otteniamo per $n\to+\infty$ :

$a_n \sim \frac{n^n}{e^n \cdot \sqrt{2\pi n} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

Semplifichiamo i termini. Ricordando che $\left(\dfrac{n}{e}\right)^n = \dfrac{n^n}{e^n}$ , possiamo riscrivere:

$a_n \sim \frac{n^n}{e^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi n} \cdot \frac{n^n}{e^n}}.$

Cancelliamo $n^n / e^n$ dal numeratore e denominatore:

$a_n \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}.$

Calcoliamo ora il limite della successione per $n \to \infty$ :

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}.$

Poiché $\sqrt{2\pi n} \to \infty$ per $n \to \infty$ , segue che:

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$

Concludiamo quindi che la successione $a_n = \dfrac{n^n}{e^n \cdot n!}$ converge a $0$ .

Questo esempio mostra un caso in cui l’applicazione del criterio del rapporto si rivela inconcludente. Sebbene il criterio del rapporto sia uno strumento efficace per determinare il comportamento di una successione, non sempre è applicabile in modo decisivo. In tali situazioni, è necessario adottare metodi alternativi, come abbiamo fatto in questo caso.

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In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Geometria analitica.

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
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