Teoria sulle successioni

Questa dispensa tratta le successioni di numeri reali. Dopo le definizioni fondamentali, si introduce il concetto di limite di successione e le sue relazioni con le usuali operazioni algebriche. Si presentano poi i principali teoremi sui limiti, la nozione di successione di Cauchy, il numero di Nepero , i principali criteri di convergenza e i limiti notevoli fondamentali. La dispensa si conclude proponendo una nutrita raccolta esercizi svolti e un’appendice sulla potenza a esponente reale.

Autori: Luigi De Masi, Martina Moro

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fioucci.

	Insieme dei numeri naturali: ;
	Insieme dei numeri naturali non negativi: ;
	Insieme dei numeri interi relativi
	Insieme dei numeri razionali;
	Insieme dei numeri reali;
	Insieme dei numeri reali estesi, ovvero ;
	Intorno circolare di raggio di , ossia ;
	, ovvero il complementare dell’insieme ;
	Parte interna dell’insieme ;
	Frontiera dell’insieme ;
	Successione di termine generale , ossia la funzione ;
	Sottosuccessione della successione ottenuta dalla funzione strettamente crescente ;
,	Limite della successione ;
	è un o-piccolo di , ovvero ;
	è asintotica a , ovvero .

Il concetto di successione è storicamente uno dei primi ad essere entrato a far parte della Matematica: sin dai tempi dei babilonesi e degli antichi greci se ne sono comprese le potenzialità e l’utilità.

La nozione di successione formalizza l’idea di “lista” ordinata e infinita di oggetti. Una successione di numeri reali, l’oggetto principale di questa dispensa, si può quindi immaginare come

(1)  

Ogni elemento è un numero reale e tali numeri vengono ordinati mediante un indice costituito da un numero naturale . Si può quindi formalizzare questa idea come una funzione in cui l’immagine del numero reale tramite viene indicata col simbolo .

Uno dei concetti fondamentali relativi alle successioni è quello di limite: esso formalizza l’idea intuitiva del valore a cui si avvicinano i numeri al crescere dell’indice . Questa dispensa è principalmente dedicata allo studio dei limiti delle successioni reali. Dopo una presentazione dei concetti e le proprietà fondamentali relativi alle successioni, il focus viene infatti spostato sul concetto di limite, le sue proprietà algebriche e i risultati che ne descrivono le caratteristiche. Più precisamente, il lavoro è così organizzato.

   

• Nella sezione 1 studiamo la topologia dell’insieme , presentando la nozione di intorno che risulta fondamentale per definire formalmente il concetto di limite e permette di definire punti interni, di frontiera e di accumulazione di sottoinsiemi di .

 

• Nella sezione 2 introduciamo le successioni, ne studiamo le proprietà principali quali limitatezza e monotonia e presentiamo il concetto di sottosuccessione.

 

• Nella sezione 3 parliamo del concetto di limite di una successione e di come esso formalizzi l’idea dell’avvicinarsi dei termini della successione verso un certo valore. Trattiamo anche le proprietà di base dei limiti, come la loro unicità e alcune caratterizzazioni topologiche dei chiusi e dei punti di accumulazione.

 

• Nella sezione 4 parliamo dell’algebra dei limiti, ossia di come il concetto di limite si relazioni con le usuali operazioni algebriche come somma, prodotto e quoziente. Introduciamo inoltre il concetto di forma indeterminata, che appare quando si tenta di estendere ai simboli e le usuali operazioni tra numeri reali.

 

• Nella sezione 5 presentiamo i principali teoremi sui limiti: il fatto che le successioni monotone abbiano sempre limite, l’esistenza di sottosuccessioni monotone, i teoremi del confronto, dei carabinieri e della permanenza del segno, concludendo col teorema di Bolzano-Weierstrass sull’esistenza di estratte convergenti.

 

• Nella sezione 6 introduciamo il concetto di successione di Cauchy, ossia successioni i cui termini diventano arbitrariamente vicini tra loro, al crescere dell’indice. Vedremo che tale nozione in è intimamente legata a quella di convergenza della successione, essendo infatti esse equivalenti.

 

• Nella sezione 7 presentiamo il celebre numero di Nepero , obiquo in ogni campo della Matematica e delle scienze applicate. Lo introduciamo appunto come limite di una successione, per poi darne alcune definizioni equivalenti. Trattiamo inoltre l’esponenziale naturale.

 

• Nella sezione 8 trattiamo i principali criteri di convergenza per successioni a termini positivi, ossia il criterio del rapporto e della radice, forniamo alcuni esempi di applicazione e li confrontiamo tra loro.

 

• Nella sezione 9 presentiamo alcuni esempi di limiti di successione che vengono detti notevoli, in quanto ricorrono frequentemente nel calcolo dei limiti ed è quindi importante tenerli a mente. Presentiamo quindi la cosiddetta gerarchia degli infiniti e altre forme indeterminate di particolare interesse.

 

• Nella sezione 10 introduciamo il concetto di successioni asintoticamente equivalenti e la nozione di -piccolo, oltre al principio di sostituzione degli infinitesimi.

 

• Nella sezione 11 trattiamo i teoremi di Stolz-Cesaro, che consentono di dedurre il limite di alcune medie di successioni a partire dai limiti delle successioni stesse.

 

• Nella sezione 12 presentiamo il teorema ponte, così denominato in quanto costituisce il legame tra i concetti di limiti di successioni e di funzioni. Esso consente di caratterizzare il limite di una funzione mediante opportuni limiti di successioni.

 

• Nella sezione 13 introduciamo il lettore allo studio delle cosiddette successioni per ricorrenza, ovvero successioni definite fornendo esclusivamente il primo termine e la relazione tra il termine successivo e i precedenti. Vedremo che il loro studio richiede un’attenzione particolare e tecniche interessanti.

 

• Nella sezione 14 riportiamo degli esercizi, alcuni completamente risolti, altri proposti al lettore, in cui forniamo soltanto dei suggerimenti ove necessario.

 

• Nella sezione 16 offriamo al lettore alcuni schemi riassuntivi sulle conclusioni ottenute nel corso della dispensa, in particolare sulle definizioni e concetti fondamentali, sulle forme indeterminate e sui limiti notevoli.

 

• Nell’appendice A offriamo al lettore una trattazione autocontenuta della potenza a esponente reale, che applica il concetto di successione e di limite.

Lo scopo fondamentale di questa sezione introduttiva è fornire le nozioni essenziali di topologia necessarie per affrontare lo studio delle successioni a valori reali. Iniziamo con la nozione di intorno di un punto, che formalizza l’idea di un insieme che lo “circonda”.

Esempio 1.2. Consideriamo il punto . Allora l’intorno circolare di centro e raggio è costituito dall’intervallo aperto

(2)  

rappresentato in blu in figura 1. Considerando l’insieme , rappresentato in verde in figura 1, dalla definizione segue che è interno ad , in quanto esso contiene l’intorno di , ovvero .

Il punto , rappresentato in rosso in figura 1, è invece esterno all’insieme , in quanto il complementare di contiene l’intorno con , ossia

(3)  

   

   

Figura 1: gli insiemi dell’esempio 1.2; si nota che è interno all’insieme (rappresentato in verde) in quanto esso contiene l’intorno circolare (rappresentato in blu). Il punto è invece esterno ad poiché l’intorno (rappresentato in rosso) è disgiunto da .

   

   

Esempio 1.3. Consideriamo l’insieme , rappresentato in verde in figura 2.

   

   

Figura 2: l’insieme (rappresentato in verde) dell’esempio 1.3; si nota che è interno ad poiché esso contiene l’intorno circolare (rappresentato in blu) di . Il punto è invece esterno ad dato che l’intorno (rappresentato in rosso) è contenuto nel complementare di . Si noti che gli estremi e di non sono né interni ad né esterni ad esso; essi sono quindi punti di frontiera per .

   

   

Il punto è chiaramente un punto interno di . Infatti, possiamo identificare un (questo è solo un esempio, ma esistono infiniti altri valori possibili) tale che

   

Invece il punto è esterno ad ; infatti se consideriamo il complementare di , possiamo considerare ad esempio e concludere che

   

ovvero è un punto interno del complementare di .

   

Esempio 1.5. Per l’insieme i punti di frontiera sono e .

Esempio 1.6. Consideriamo l’intervallo aperto . In questo caso, ogni punto è un punto interno. Per contro, ogni che soddisfa o è un punto esterno. I punti di frontiera di sono gli estremi e .

Esempio 1.7. Prendiamo in esame l’intervallo chiuso . Qui, ogni punto con è interno ad , mentre ogni che verifica o è esterno. I punti di frontiera anche in questo caso sono gli estremi e .

Osservazione 1.9. La frontiera di un insieme coincide con la frontiera del suo complementare: . Infatti, è un punto di forntiera per l’insieme se e solo se:

   

• non è un punto interno di ;

 

• non è un punto esterno di , ovvero non è un punto interno di .

Quindi per 1.1 il punto è un punto di frontiera per

Esempio 1.10. Negli esempi precedenti abbiamo:

   

• se allora e ;

 

• se allora e ;

 

• se allora e .

   

Un insieme è quindi aperto se non contiene alcun punto della sua frontiera o, in altre parole, se . Viceversa, un insieme è chiuso se li contiene tutti. Le nozioni di insieme aperto e chiuso sono quindi complementari, come precisa il prossimo risultato.

   

Dimostrazione. Consideriamo un insieme aperto e un punto , dove l’uguaglianza segue dall’osservazione 1.9. Poiché non appartiene all’interno di , segue che non è in . Pertanto, appartiene al complementare di , ovvero .

Se è chiuso e , allora non è di frontiera per in quanto . Dunque è interno ad e quindi è aperto.

Osservazione 1.13. Poiché ogni intorno di contiene un intorno circolare di e, d’altra parte, ogni intorno circolare è un particolare intorno, è chiaro che nelle definizioni e caratterizzazioni degli elementi topologici che ci interessano possiamo limitarci a utilizzare soltanto intorni circolari.

   

Esempio 1.15. Nell’intervallo aperto tutti i punti interni e di frontiera sono di accumulazione per .

Esempio 1.16. Nell’intervallo chiuso tutti i punti sono di accumulazione, sia quelli interni che quelli di frontiera.

Come il termine stesso suggerisce, intorno a un punto di accumulazione per un insieme , i punti di si addensano. Infatti, in ogni intorno di devono esserci infiniti punti dell’insieme , come stabilito dalla prossima proposizione.

   

Osservazione 1.18. Da questa proposizione segue in particolare che un insieme finito non può possedere alcun punto di accumulazione.

Dimostraione. Se ogni intorno di contiene infiniti punti di , ovviamente esso contiene punti di distinti da , per cui è di accumulazione.

Per provare il viceversa, supponiamo che sia di accumulazione per e, per assurdo, che esista tale che sia finito, ossia

(4)  

Si veda la figura 3 per una rappresentazione grafica. Scegliamo come metà della minima distanza tra e i punti , ovvero

(5)  

Da questa scelta segue che e quindi . D’altra parte, da (5) segue che nessun appartiene a , altrimenti si avrebbe

(6)  

che è assurdo. Da ciò e da segue che

(7)  

ma ciò contraddice il fatto che sia un punto di accumulazione, in quanto l’intorno di contiene soltanto il punto di .

   

   

Figura 3: schematizzazione della dimostrazione della proposizione 1.17. Se l’intorno (in verde) contenesse un numero finito di punti di (rappresentati in verde e grigio), allora esisterebbe un intorno (in blu) la cui intersezione con sarebbe costituita dal solo punto , contro l’ipotesi che sia di accumulazione per .

È importante dedicare un’attenzione specifica alla topologia della retta reale estesa. Questo concetto si riferisce all’insieme costituito dai numeri reali ampliato per includere i due estremi e .

   

Introduciamo i simboli e in modo intuitivo, piuttosto che attraverso un approccio formale e rigoroso. L’idea principale è quella di estendere l’insieme dei numeri reali aggiungendo due elementi: , che rappresenta un numero infinitamente negativo, e , un numero infinitamente positivo. In altre parole, è più piccolo di qualsiasi numero reale, mentre è più grande.

Nei prossimi capitoli vedremo che è possibile eseguire operazioni aritmetiche ordinarie (con alcune restrizioni) anche nell’ambito di questi numeri reali estesi. Questo argomento è strettamente collegato alla teoria dei limiti, ma approfondiremo i dettagli in seguito.

Per ora, ci concentriamo sul modo in cui i concetti di intorno e punto di accumulazione vengono estesi a . Considerando come un numero infinitamente grande all’estrema destra della retta reale, possiamo pensare a un intorno come una semiretta a destra. Questo ragionamento ci porta alla seguente definizione.

   

Una volta definiti gli intorni di e , è naturale estendere la definizione di punto di accumulazione anche al caso e . Ricordiamo che, se e , allora è detto di accumulazione per se ogni suo intorno contiene dei punti di diversi da . Questa definizione può essere “tradotta” anche nel caso , ovviamente tenendo conto di quali siano gli intorni di questi punti.

   

Questa definizione deriva dal fatto che le semirette destre sono gli intorni di , e le semirette sinistre quelli di . Pertanto, è un punto di accumulazione per un insieme se ogni suo intorno include punti appartenenti ad , analogamente a quanto avviene per i punti di accumulazione in . Esaminiamo ora un esempio pratico di questi concetti.

Esempio 1.22. L’insieme , che nella figura 4 è mostrato in blu, ha come punto di accumulazione. Questo si deve al fatto che è illimitato superiormente, includendo . Come illustrato nella figura (dove le semirette destre sono in verde), ogni semiretta destra contiene infiniti punti di .

In contrasto, non è un punto di accumulazione per . Ciò è evidente osservando che la semiretta sinistra , rappresentata in rosso nella figura, non include alcun punto di

   

   

Figura 4: l’insieme dell’esempio 1.22. Esso è illimitato superiormente e quindi è un suo punto di accumulazione. Invece, poiché è limitato inferiormente, non è un suo punto di accumulazione.

   

Una successione è quindi, come il nome stesso suggerisce, una sorta di “lista” di numeri reali. Infatti, possiamo immaginare di ordinare i suoi elementi come

(14)  

Possiamo rappresentare la successione nel piano cartesiano, come qualunque funzione. Facciamo qualche esempio per chiarire il concetto.

Esempio 2.2. La funzione rappresentata in figura 5

   

è una successione il cui termine -esimo è .

   

   

Figura 5: la successione dell’esempio 2.2.

   

Esempio 2.3. La funzione rappresentata in figura 6

   

è una successione il cui termine -esimo è .

   

   

Figura 6: la successione dell’esempio 2.3.

   

Esempio 2.4. La funzione

   

è una successione il cui termine -esimo è .

Esempio 2.5. La funzione che associa al numero naturale la somma dei primi quadrati perfetti, definita cioè da

   

è una successione a valori in . L’uguaglianza si può mostrare per induzione.

Come qualunque funzione, anche per le successioni hanno senso i concetti di limitatezza e di monotonia. Rimandiamo a teoria sulle funzioni, sezioni 2.5 e 2.6 per una trattazione generale di queste nozioni. Qui ci limitiamo a osservare che è naturale studiare il comportamento dei termini di una successione al variare dell’indice , ponendosi le seguenti domande:

   

• Il termine generale è crescente o decrescente al crescere di ?

 

• Il termine generale rimane limitato (superiormente o inferiormente) al variare di ?

Osservazione 2.7 (limitatezza e grafici). Per illustrare graficamente il concetto di una successione limitata o illimitata, possiamo considerare che una successione è rappresentabile come una funzione. In questa rappresentazione, l’indice è posizionato sull’asse delle ascisse, mentre il valore corrispondente del termine generale è sull’asse delle ordinate. Una successione è limitata se il suo grafico è contenuto all’interno di una striscia orizzontale di larghezza finita, come mostrato nella figura 7.

   

   

Figura 7: esemplificazione dell’osservazione 2.7. La successione dell’esempio 2.2 (a sinistra) definita da è limitata inferiormente ma illimitata superiormente in quanto il suo grafico è contenuto nel semipiano superiore (ombreggiato in blu) delimitato dalla retta . Invece la successione dell’esempio 2.3 (a destra) definita da è limitata in quanto il suo grafico è contenuto nella striscia (ombreggiata in blu) delimitata dalle rette di equazione e .

   

   

Introduciamo il concetto di monotonia delle successioni, una nozione che determina se il termine generale cresce o decresce all’aumentare dell’indice .

   

Facciamo degli esempi per chiarire i concetti esposti.

Esempio 2.9. La successione dell’esempio 2.3 è limitata. Infatti essa soddisfa le seguenti proprietà.

   

• è limitata inferiormente: esiste tale che

     

 

• è limitata superiormente: scegliendo si ha

     

Inoltre la successione è decrescente, infatti

   

Osservazione 2.10. legami tra monotonia e limitatezza). È interessante studiare i legami tra i concetti di monotonia e limitatezza di successioni.

   

• Una successione crescente è limitata inferiormente. Infatti, se è crescente, si ha

  (15)  

  Analogamente si vede che una successione decrescente è limitata superiormente.

 

• D’altra parte, esistono esempi di successioni crescenti limitate superiormente ed esempi di successioni crescenti illimitate superiormente. Infatti, la successione

  (16)  

  è crescente ed è limitata superiormente, poichè per ogni . Invece la successione dell’esempio 2.2 è crescente ed è illimitata superiormente. Analogamente si vede che una successione decrescente può essere limitata o illimitata inferiormente.

Esempio 2.10. La successione dell’esempio 2.4 è crescente, infatti

   

e questo ci permette di concludere che è limitata inferiormente per l’osservazione 2.10. Infatti per si ha che

   

Possiamo ulteriormente osservare che la successione non è limitata superiormente, infatti

   

e, dato che è illimitato superiormente, tale è anche la successione .

Esempio 2.12. Consideriamo la successione , rappresentata in figura 8. Essa è limitata in quanto

(17)  

La successione non è monotona, in quanto ad esempio per ogni pari si ha e .

   

   

Figura 8: la successione dell’esempio 2.12. Si vede che essa è limitata, in quanto il suo grafico è contenuto nella striscia delimitata dalle rette e . Essa non è però monotona.

   

   

Osservazione 2.13. La limitatezza o l’illimitatezza di una successione in generale non forniscono alcuna informazione sulla sua monotonia. Infatti, esistono successioni limitate che non sono monotone, come quella dell’esempio 2.12.

Alcune proprietà di una successione possono non essere verificate per tutti i termini della successione. Ciononostante, risulta molto utile stabilire dei termini per indicare i seguenti casi:

   

• La proprietà è vera per tutti i termini della successione, a partire da un certo indice in poi.

 

• La proprietà è vera per indici arbitrariamente grandi.

Facciamo qualche esempio per chiarire i concetti.

Esempio 2.14. Data la successione dell’esempio 2.2, non tutti i termini della successione sono maggiori di , ma lo diventano tutti per ogni . Infatti, se allora . Diremo che il termine generale è definitivamente maggiore di .

Riguardo il secondo caso, si vede che non tutti i termini della successione sono dispari, ma che vi sono infiniti indici per cui questo succede: quelli della forma con . Infatti, se è pari, allora è dispari. Gli indici per cui ciò accade sono arbitrariamente grandi. Diremo quindi che il termine generale è frequentemente dispari. In altre parole, la proprietà di essere dispari non è definitivamente falsa.

Diamo ora la definizione formale di queste nozioni.

   

Esempio 2.16. Il termine generale della successione dell’esempio 2.12 è frequentemente positivo. Infatti, poiché esso è positivo per ogni pari. Poiché per ogni esiste un numero pari tale che , è frequentemente positivo.

è anche definitivamente minore di , in quanto per ogni .

Esempio 2.17. Il termine generale della successione dell’esempio 2.3 appartiene definitivamente all’intervallo . Infatti

(18)  

In altre parole, non tutti gli appartengono a , ma vi appartengono se .

Data una successione , l’idea di sottosuccessione corrisponde intuitivamente a quella di selezionarne solo alcuni termini in modo da ottenere una nuova successione, che viene detta appunto estratta da .

   

Quando non ci sono possibilità di ambiguità, useremo la notazione e quindi la sottosuccessione sarà indicata come .

Esempio 2.19. Consideriamo la successione di termine -esimo

   

e le due funzioni strettamente crescenti

(19)  

Allora le successioni in figura 9

(20)  

sono estratte dalla successione ottenute considerando rispettivamente i termini di indice pari e i termini di indice dispari della successione stessa come in figura 9.

   

   

Figura 9: dalla successione dell’esempio 2.19 vengono estratte due sottosuccessioni. La sottosuccessione è costituita dai termini di indice pari (rappresentati in blu), mentre la sottosuccessione è costituita dai termini di indice dispari (rappresentati in verde).

   

   

Osservazione 2.20. Se una successione verifica definitivamente una proprietà, essa è verificata definitivamente da ogni sottosuccessione . Infatti, se esiste tale che è vera per ogni , poiché per il lemma 3.15, che dimostreremo nel paragrafo successivo, vale

(21)  

allora per ogni , quindi è vera per ogni .

Introduciamo la seguente proprietà, che sarà di grande utilità nelle prossime sezioni e che collega l’esistenza di sottosuccessioni a proprietà verificate frequentemente.

   

Dimostrazione. Se è frequentemente vera, definiamo una funzione per ricorrenza, ovvero poniamo . Una volta definita , definiamo

(22)  

Poiché è frequentemente vera, l’insieme in (22) non è vuoto, pertanto è ben definito. Chiaramente è una sottosuccessione di per cui è sempre vera.

Viceversa se esiste una sottosuccessione di per cui è sempre vera, fissiamo . Poiché la funzione è a valori in ed è strettamente crescente (per definizione di sottosuccessione), la sua immagine è illimitata, quindi esiste tale che e inoltre il termine soddisfa la proprietà . Per l’arbitrarietà di , è frequentemente vera.

Studiamo ora come si comportano le nozioni studiate in precedenza rispetto al concetto di sottosuccessione. Valgono le seguenti osservazioni.

   

• Una successione è limitata se e solo se tutte le sue sottosuccessioni sono limitate. D’altra parte, se un’estratta della successione è limitata, non è detto che lo sia, in quanto potrebbero esserci dei termini non appartenenti a non uniformemente limitati.

 

• Una successione è monotona se e solo se tutte le sue estratte possiedono la stessa monotonia. D’altra parte, una successione non monotona può avere anche estratte monotone, come nell’esempio 2.19.

Esempio 2.22. Si consideri la successione definita da

(23)  

Questa successione chiaramente non è limitata, né inferiormente né superiormente, e non è monotona. Tuttavia, consideriamo le sottosuccessioni , e definite da

(24)  

Esse sono rappresentate rispettivamente in blu, in verde e in rosso in figura 10 e soddisfano le seguenti proprietà:

   

• è strettamente crescente, limitata inferiormente e illimitata superiormente. Osserviamo che, definendo la successione , si ha .

 

• è strettamente decrescente, limitata superiormente e illimitata inferiormente. Osserviamo che, definendo la successione , si ha .

 

• è costante e quindi ovviamente limitata.

   

   

Figura 10: la successione dell’esempio 2.22.

   

   

   

---

1. La funzione composta è il risultato dell’operazione di composizione di due funzioni. Formalmente, date due funzioni

      

   tale che , definiamo la funzione composta come

      

   Per approfondire l’argomento si rimanda a teoria sulle funzioni. ↩

La nozione di limite è forse la più centrale e importante dell’Analisi Matematica. Essa formalizza l’idea intuitiva di “valore a cui si avvicina un certo oggetto”. Infatti, dagli esempi che abbiamo esaminato, risulta naturale porsi la seguente domanda.

Domanda 3.1. Verso quale (o quali) valore si avvicinano i termini della successione al crescere di ?

Analizziamo gli esempi precedenti in questa ottica per cercare di rispondere alla domanda.

   

• Nell’esempio 2.2, il termine non sembra avvicinarsi ad alcun valore, anzi, il termine generale sembra diventare più grande di qualsiasi numero reale e avvicinarsi a . Infatti, considerando un qualunque intorno di , da un certo in poi appartiene a . Vedremo che questa idea si formalizza dicendo che oppure che “ diverge a ”.

 

• La successione dell’esempio 2.3 è decrescente e il termine generale diventa via via più piccolo al crescere di . Sembra proprio che si avvicini al valore , quando sia molto grande. Infatti, qualunque intorno si consideri, da un certo in poi, appartiene a . Formalizzeremo questa idea scrivendo oppure che “ è convergente a ”.

 

• La successione dell’esempio 2.12 oscilla continuamente tra i valori e e non sembra avvicinarsi definitivamente a nessun numero reale. Formalmente, diremo che la successione non ha limite oppure che non esiste.

Motivati da queste considerazioni di carattere intuitivo, diamo la definizione di limite di una successione, illustrato in figura 11.

   

   

Figura 11: illustrazione del concetto di limite di una successione nel caso in cui . Fissando un qualunque intorno circolare di , i termini della successione vi appartengono per ogni , con opportuno; in questo caso .

   

   

Osservazione 3.3. La definizione di limite formalizza l’idea intuitiva dell’avvicinarsi di a : si consideri un intorno arbitrariamente piccolo di ; allora, da un certo in poi (che naturalmente dipende dalla dimensione di ), tutti i termini di appartengono a .

Prima di fornire alcuni esempi, osserviamo che la nozione di limite può essere formulata in varie maniere equivalenti, che saranno utilizzate indistintamente nel seguito come definizioni di limite.

   

Dimostrazione. Mostriamo che ognuna delle condizioni 1, 2, 3, 4 implica le altre.

1 2 Sia ; allora è un intorno di e, per la definizione 3.2, esiste tale che per ogni .

2 3 Fissato , per 2 esiste tale che per ogni . Si ha che se e solo se la distanza tra e è minore di , cioè se e solo se , che è quindi vero per ogni .

3 4 per definizione di proprietà vera definitivamente, 3 implica 4.

4 1 Si fissi un intorno di . Per definizione di intorno, esiste tale che . Poiché definitivamente, esiste tale che

(29)  

Per definizione di , si ha quindi

(30)  

ossia la 1.

Nei casi , vale un’analoga caratterizzazione della definizione di limite. La scriviamo esplicitamente solo per , ma il lettore può esercitarsi a scrivere le semplici controparti per . Non dimostriamo la proposizione, in quanto la dimostrazione è analoga a quella della proposizione 3.4.

Esempio 3.6. Utilizzando la definizione equivalente di limite indicata nel punto 3 della proposizione 3.4, dimostriamo quanto segue:

   

Dato , si ha

   

Scegliendo ora un qualsiasi tale che , possiamo concludere che per ogni si ha , dimostrando così la tesi.

   

   

Figura 12: rappresentazione dell’esempio 3.6. Per ogni , appartiene all’intervallo , ovvero i punti di coordinate (rappresentati in blu) appartengono alla striscia orizzontale (ombreggiata in verde) delimitata dalle rette di equazione e .

   

Esempio 3.7. Sfruttando la definizione dimostriamo che

   

Sia ; allora

   

Fissando un qualunque , per ogni si ha che , ottenendo quindi la tesi.

Esempio 3.8. Verifichiamo, utilizzando la definizione, che

   

Sia ; allora

   

Fissando un qualunque (quantità reale solo nel caso in cui sia sufficientemente piccolo) per ogni si ha che , ottenendo quindi la tesi.

Esempio 3.9. Sia la successione definita da per ogni . Mostriamo che . Infatti, si ha

(33)  

dove (33) segue dalla disuguaglianza di Bernoulli.² Sia e sia tale che . Allora si ha

(34)  

Per l’arbitrarietà di , si ha .

Esempio 3.10. Sfruttando la definizione dimostriamo che

   

Scelto un valore , risolviamo la disequazione :

   

Allora esiste tale che

   

   

   

Figura 13: la successione dell’esempio 3.10. Se , allora e quindi . Quindi la successione diverge positivamente.

   

Esempio 3.11. Sfruttando la definizione dimostriamo che

   

Osserviamo che

   

e inoltre, limitandoci a considerare , vale

   

Quindi per vale

   

Scegliendo si ha

   

   

---

2. Tale disuguaglianza afferma che

   (35)  

   e può essere dimostrata per induzione. ↩

Cerchiamo adesso di rispondere alle possibili domande che possono sorgere a partire da queste prime definizioni, esponendo le prime proprietà dei limiti.

   

Dimostrazione. Supponiamo che e con . Siano un qualsiasi intorno di e un qualsiasi intorno di . Per la definizione di limite 3.2, definitivamente e definitivamente, quindi esiste tale che

(36)  

Il punto principale della dimostrazione è provare che, se , allora esistono due rispettivi intorni e disgiunti, rendendo quindi impossibile (36). Per mostrare l’esistenza di tali , distinguiamo vari casi. Senza perdita di generalità supporremo sempre .

   

• . Se e sono numeri reali distinti, consideriamo e poniamo

  (37)  

  rappresentati rispettivamente in blu e in verde in figura 14. Poiché

  (38)  

  dove la disuguaglianza segue da , l’estremo destro dell’intervallo è strettamente minore dell’estremo sinistro dell’intervallo , quindi .

     

     

  

  Figura 14: rappresentazione del teorema 3.12 nel caso . Poiché , esistono intorni e (in blu e in verde) rispettivamente di e disgiunti. Dato che non può appartenere definitivamente a entrambi gli intervalli, e non possono essere entrambi limiti della successione.

     

 

• , . Sia un qualsiasi e si consideri l’intorno . Si scelga poi e si ponga . Ovviamente e sono intorni disgiunti rispettivamente di e .

 

• , . Si scelga e si ponga

  (39)  

  Chiaramente e sono intorni rispettivamente di e e .

La nozione di insieme chiuso può essere caratterizzata mediante successioni; vale infatti il seguente risultato.

Proposizione 3.13 (caratterizzazione dei chiusi per successioni). Sia ; le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1. è chiuso;
2. per ogni successione a valori in convergente a un numero reale , si ha .

   

Osservazione 3.14. È importante sottolineare che la proprietà 2 non implica che ogni successione con valori in converga. Piuttosto, stabilisce che, nel caso in cui una successione converga ad un limite , allora tale limite deve appartenere all’insieme .

Dimostrazione. Analizziamo separatamente le due implicazioni:

   

• 1 2. Consideriamo chiuso e una successione in che converge a . Per dimostrare che , supponiamo per assurdo che . Poiché è aperto (come stabilito dalla proposizione 1.12), esiste un intorno di completamente contenuto in . Tuttavia, per la definizione di limite, si avrebbe che:

  (40)  

  contraddicendo l’ipotesi iniziale che la successione abbia valori in .

 

• 2 1. Supponendo ora che la proprietà 2 sia valida, vogliamo dimostrare che è aperto, il che implica che è chiuso (come affermato dalla proposizione 1.12). Se non fosse aperto, esisterebbe un punto che non è interno, ovvero per cui vale:

  (41)  

  Questa successione , definita in , converge a . Infatti, per arbitrario vale:

  (42)  

  e quindi, per (41), si ha che:

  (43)  

  L’arbitrarietà di implica che . Questo porta ad una contraddizione con l’ipotesi 2, poiché abbiamo identificato una successione in che converge ad un punto in . Di conseguenza, deve necessariamente valere la proprietà 1.

Abbiamo bisogno di un lemma tecnico per dimostrare un teorema che mette in relazione la convergenza di una successione e il comportamento delle sottosuccessioni estratte.

Lemma 3.15. Per ogni funzione

   

crescente di numeri naturali, si ha che

   

   

Dimostrazione. Dimostriamo l’affermazione per induzione sui termini della successione :

   

• Passo base (): si ha perché per ipotesi è una successione di numeri naturali.

 

• Passo induttivo: Supponiamo che l’affermazione sia vera per un certo , ovvero . Dobbiamo dimostrare che essa è valida anche per . Dall’ipotesi induttiva e dal fatto che è strettamente crescente, abbiamo che

     

  il che completa il passo induttivo e conferma la validità dell’asserzione per ogni .

Poiché una sottosuccessione di una successione si ottiene selezionando alcuni termini della successione, se questa ammette limite è ragionevole aspettarsi che anche la sottosuccessione ammetta lo stesso limite.

Teorema 3.16. ia una successione avente limite . Allora ogni sua estratta ha lo stesso limite.

   

Dimostrazione. Consideriamo una sottosuccessione della successione e un intorno del limite .³ Dato che la successione converge a , possiamo affermare l’esistenza di un tale che

(44)  

Applicando il lemma 3.15, sappiamo che per ogni . Questo implica che per ogni , sarà anch’esso maggiore o uguale a . Di conseguenza, dalla (44), otteniamo

(45)  

L’arbitrarietà nella scelta dell’intorno e la proprietà appena dimostrata ci permettono di concludere che la sottosuccessione converge effettivamente a .

Esempio 3.17. Questo teorema è estremamente utile per verificare la non regolarità di una particolare successione. Prendiamo ad esempio e consideriamo le due sottosuccessioni

   

Si ha che

   

in quanto e per ogni . Allora possiamo concludere che il limite della successione non esiste, perchè se per assurdo esistesse allora ogni estratta dovrebbe convergere a tale limite.

Il limite di una successione è quindi il valore verso cui “si accumulano” tutti i valori assunti da . Risulta quindi naturale indagare la relazione tra limiti della successione e punti di accumulazione dell’insieme immagine della successione , esplicitato dalla prossima proposizione.

Proposizione 3.18 (caratterizzazione dei punti di accumulazione). Sia e sia . Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. è un punto di accumulazione per ;
2. esiste una successione a valori in tale che

   (46)  

   

La dimostrazione della presente proposizione richiede l’applicazione del teorema del confronto 5.8. Si rimanda quindi alla sezione 5.2.

Teorema 3.19. Una successione convergente è limitata.

   

Dimostrazione. Consideriamo una successione che converge a e sia un intorno di . In base alla definizione di limite 3.4, esiste tale che

(47)  

Da ciò, deduciamo che

(48)  

Definiamo poi

(49)  

che esiste in quanto si tratta di un insieme finito di termini. Ponendo , dalle equazioni (48) e (49) segue che

(50)  

dimostrando che la successione è limitata.

   

   



Figura 15: dimostrazione del teorema 3.19, che per semplicità abbiamo illustrato relativamente a una successione a termini positivi convergente a . Poiché per ogni si ha e i termini sono limitati da , la successione è limitata.

   

Esempio 3.20. (successione che non ammette limite). Possiamo dimostrare con un esempio che non vale il viceversa del teorema precedente, ovvero non è vero che una successione limitata è convergente. Consideriamo la successione di termine -esimo

   

questa è ovviamente limitata; infatti

   

ma come abbiamo visto nell’esempio 3.17 non è convergente.

Il teorema 3.19 stabilisce che ogni successione convergente è necessariamente limitata. Al contrario, se una successione diverge positivamente, ne consegue che è illimitata superiormente. Tuttavia, adottando un approccio analogo a quello utilizzato nella dimostrazione del teorema 3.19, possiamo dimostrare che tale successione divergente è limitata inferiormente.

Proposizione 3.21. Sia una successione tale che

(51)  

allora essa è limitata inferiormente. Analogamente, se

(52)  

allora essa è limitata superiormente.

   

Omettiamo la dimostrazione di questa proposizione, invitando il lettore a considerarla come un esercizio stimolante. La soluzione può essere trovata adattando il ragionamento impiegato nella dimostrazione del teorema 3.19.    

---

3. Si ricorda che, se , include un intervallo del tipo con . Nel caso in cui , comprende una semiretta del tipo con , e per , include una semiretta . ↩

Valgono le seguenti proprietà di calcolo.

   

Dimostrazione.

1. Per l’ipotesi di convergenza della successione si ha che per ogni

      

   Allora, per la disuguaglianza triangolare,

      

   quindi possiamo concludere che

 

2. Dimostriamo che . Per ipotesi di convergenza delle successioni si ha che per ogni

   (53)  

   Ponendo si ha che per ogni

      

   dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare. La stessa argomentazione si applica analogamente alla dimostrazione per la differenza.

 

3. Dato che la successione è convergente, essa è limitata per il teorema 3.19, ovvero esiste tale che

      

   Fissiamo e definiamo e che soddisfino (53). Ponendo per ogni si ha

      

   Per l’arbitrarietà di la tesi è dimostrata.

 

4. Mostriamo che la successione converge a ; ciò, insieme al punto 3 concluderà la dimostrazione.

      

   • esiste definitivamente. Osserviamo innanzitutto che esiste tale che esiste per ogni . Infatti, poiché fissiamo tale che ; per la definizione 3.2, esiste tale che . Pertanto, per come abbiamo scelto ,

     (54)  

     quindi è ben definita per ogni . Vedremo che tale argomento consiste nella dimostrazione del cosiddetto teorema di permanenza del segno (teorema 5.3).

    

   • . Si fissi . Poiché , per il punto 1 si ha . Pertanto, considerando gli intorni e rispettivamente di e ⁴, per la definizione 3.2 esiste tale che

     (55)  

     Si ha quindi

     (56)  

     Per l’arbitrarietà di , segue che .

Osservazione 4.2. Il viceversa del punto 1 del teorema 4.1 non è valido: se una successione è tale che , la successione può anche non essere convergente, come mostra l’esempio 3.17: si ha per ogni , quindi ma, come si è già osservato, la successione non è convergente. Osserviamo però che tale viceversa è valido se , come mostra la seguente proposizione.

   

Dimostrazione. Fissiamo . Poiché , per il punto 2 della proposizione 3.4 esiste tale che

(57)  

Dalle proprietà del valore assoluto deduciamo quindi per ogni , dimostrando quindi che anche è infinitesima.

Risultati analoghi si hanno quando una o entrambe le successioni sono divergenti.

   

In generale non possiamo concludere niente nei casi che non rientrano nella tabella precedente e cioè per le cosiddette forme indeterminate che saranno oggetto di studio dei successivi paragrafi:

   

Per esempio, quando diciamo che è una forma indeterminata, intendiamo che se e , non possiamo dedurre in modo immediato quale sarà il comportamento limite della successione . Questa potrebbe convergere verso un qualsiasi elemento di o potrebbe anche non avere limite. La determinazione dell’esistenza e del valore di un eventuale limite per richiede un’analisi dettagliata del caso specifico, come illustrato nell’esempio seguente.

Esempio 4.5. (forma indeterminata ). Ci accingiamo a mostrare che, se le successioni e divergono rispettivamente a e , la successione può divergere positivamente, oppure divergere negativamente, oppure avere come limite un qualsiasi numero reale, oppure non avere limite.

   

1. Consideriamo le successioni definite da

   (59)  

   Per quanto visto precedentemente, vale e . Si ha

   (60)  

 

2. Analogamente, se

   (61)  

   vale .

 

3. Consideriamo ora

   (62)  

   Di nuovo abbiamo e , ma

   (63)  

   quindi in questo caso ha limite finito. Chiaramente il numero 7 è arbitrario e al suo posto può essere scelto qualsiasi numero reale.

 

4. Studiamo infine il caso

   (64)  

   Si ha per ogni , quindi vale e , ma

   (65)  

   che non ha limite, per l’esempio 3.17.

   

Dimostrazione. Per ipotesi è una successione limitata, quindi esiste tale che per ogni , mentre la successione è infinitesima, quindi fissato un valore , esiste tale che

   

Quindi, per

   

ovvero la successione è anch’essa infinitesima.

Esempio 4.7. Calcoliamo il limite

   

Definendo le successioni e , si ha che

   

In virtù del teorema 4.6, possiamo concludere che

   

   

---

4. l’intervallo è non vuoto dato che . ↩

Esponiamo qui di seguito alcuni risultati chiave sulle successioni, elementi essenziali della teoria.

In questa sezione esaminiamo le correlazioni tra la monotonia delle successioni e i loro limiti. Iniziamo con un risultato fondamentale che collega la regolarità di una successione alla sua monotonia, stabilendo che tutte le successioni monotone hanno limite, come illustrato in figura 16.

   

   

   

Figura 16: illustrazione del teorema 5.1 con crescente e . Poiché , chiaramente per ogni . D’altra parte, si avvicina a per la monotonia di e proprio in quanto esso è l’estremo superiore della successione.

   

   

Dimostrazione. Ci concentriamo sul caso di una successione crescente, poiché l’analisi per una successione decrescente è analoga o può essere derivata considerando la successione . Definiamo . Data la monotonia di , è evidente che . Esaminiamo i due casi possibili: e .

   

• In tal caso è illimitata superiormente, ossia per ogni , esiste tale che . Poichè la successione è crescente, da tale disuguaglianza segue

  (66)  

  Per l’arbitrarietà di , si ha quindi .

 

• . La successione è limitata e sia . Fissato , per le proprietà dell’estremo superiore esiste tale che

     

  Per la monotonia della successione , per ogni

     

  ovvero .

Il seguente teorema garantisce che ogni successione possiede un’estratta monotona.

   

Dimostrazione. Sia la successione in questione. Diciamo che un termine è un picco se

(67)  

ossia se è maggiore o uguale a ognuno dei termini ad esso successivi.⁵ Distinguiamo quindi due casi.

   

• ha infiniti picchi. In tal caso, scegliamo come sottosuccessione quella dei picchi. Poiché per definizione di estratta la funzione è strettamente crescente, si ha per ogni . Quindi, dato che ogni è un picco, si ha

  (68)  

  ovvero la sottosuccessione è decrescente.

 

• ha un numero finito di picchi. Poiché il numero di picchi è finito, esiste tale che, per ogni , non è un picco. Costruiamo quindi una sottosuccessione crescente per induzione.

  Fissiamo . Supponiamo di aver scelto e scegliamo nel seguente modo: dato che , non è un picco, quindi esiste tale che . Poniamo quindi . Per induzione l’estratta è definita ed è strettamente crescente.

Ciò conclude la dimostrazione dell’esistenza di un’estratta monotona. Rimane da provare la seconda parte del teorema, ovvero che tale estratta può essere scelta divergente a se la successione è illimitata superiormente e divergente a se è illimitata inferiormente. Mostriamo solo il caso in cui essa sia illimitata superiormente in quanto l’altro caso si svolge in maniera del tutto analoga. Osserviamo che l’estratta monotona esibita nella prima parte della dimostrazione potrebbe non essere divergente, anche se è illimitata. Pertanto occorre definire la sottosuccessione in altro modo.

Costruiamo per induzione l’estratta crescente. Scegliamo , che esiste per l’illimitatezza di . Supponendo di aver scelto i termini fino a , scegliamo tale che

(69)  

e tale scelta è possibile di nuovo perché è illimitata superiormente. Per costruzione si ha quindi

(70)  

ossia è strettamente crescente. A questo punto fissato , sia tale che . Poiché per costruzione si ha che , per la monotonia di si ha per ogni .    

---

5. Osserviamo che, se la successione è strettamente crescente, allora nessun termine è un picco; mentre, se essa è decrescente, allora tutti i termini sono picchi. ↩

In questa sezione studiamo gli importantissimi teoremi di confronto. Essi ci permettono di dedurre il carattere e le proprietà dell’eventuale limite di una successione, basandoci sul confronto (ovvero su disuguaglianze) con altre successioni di cui conosciamo il comportamento. Questi strumenti si rivelano utilissimi in quanto molto spesso nella pratica risulta difficile provare la convergenza di una particolare successione e stabilire il valore del suo eventuale limite. Può essere di notevole aiuto confrontare con una successione nota e quindi dedurre tutte le informazioni necessarie da tale confronto.

Un primo importante risultato è il seguente teorema, detto della permanenza del segno, che afferma che una successione avente limite strettamente positivo è definitivamente a termini strettamente positivi.

   

Il teorema stabilisce che, se il limite di una successione è strettamente positivo, allora la successione sarà definitivamente composta da termini positivi.

Dimostrazione. Mostriamo solo il caso , in quanto l’altro caso è analogo o si ottiene, ad esempio, considerando la successione .

   

• Se , allora dalla caratterizzazione 3 di 3.4 di limite di successione, scegliendo , esiste tale che

     

  ovvero

     

 

• Se sempre grazie alla caratterizzazione 2 di 3.4, per un valore fissato esiste tale che

     

Come già anticipato, la prossima proposizione è una generalizzazione del teorema 5.3.

   

Dimostrazione. Se e allora per definizione si ha definitivamente , e la conclusione risulta ovvia. Nel caso in cui almeno uno dei limiti sia finito, consideriamo la successione . Per il teorema 4.1 e la proposizione 4.4 si ha

(72)  

Per il teorema 5.3, è definitivamente positivo, concludendo la dimostrazione.

La generalizzazione del teorema della permanenza del segno data dalla proposizione 5.4 si può enunciare anche nella forma equivalente seguente,⁶ illustrata in figura 17.

   

Dimostrazione. Se per assurdo fosse , per la proposizione 5.4 si avrebbe definitivamente, contro l’ipotesi definitivamente.

   

   

   

Figura 17: illustrazione della proposizione 5.5 nel caso .

   

   

Osservazione 5.6. La conclusione della proposizione 5.5 non si può rafforzare in , anche assumendo che definitivamente, come mostra il prossimo esempio.

Esempio 5.7. Consideriamo le successioni definite da

(74)  

Chiaramente si ha per ogni . Tuttavia sono entrambe infinitesime, ossia convergono allo stesso limite . Infatti, , come mostrato nell’esempio 3.6. Il fatto che segue da ciò, dal fatto che e dal punto 1 del teorema 4.1.

Siamo ora in grado di enunciare il teorema del confronto, un principio fondamentale dell’Analisi Matematica che assume diverse forme a seconda del contesto. Esso permette di determinare il limite di una successione confrontandola con altre due successioni e aventi lo stesso limite e che la limitano dal basso e dall’alto. Conosciuto informalmente come il teorema dei due carabinieri, l’analogia descrive le successioni e come carabinieri che “convergono” verso lo stesso punto, costringendo necessariamente anche la successione , il prigioniero, a fare altrettanto.

   

Dimostrazione. Per dimostrare il teorema, consideriamo un qualsiasi e mostriamo che esiste tale che per tutti gli . Fissato un arbitrario, dalla definizione di limite e dall’ipotesi che

   

si deduce l’esistenza di due numeri naturali e tali che

(76)  

Scegliendo , entrambe le condizioni (75) e (76) sono soddisfatte simultaneamente, quindi si ottiene

   

completando così la dimostrazione.

   

   

Figura 18: illustrazione del teorema 5.8. Le successioni , rispettivamente in rosso, blu e verde, soddisfano per ogni . Poiché per vale , allora anche appartiene a tale intorno.

   

   

Esempio 5.9. Calcoliamo il seguente limite:

   

Si ricorda che

   

da cui

   

Posto , e , grazie all’esempio 2.3 e al punto 3 del teorema 4.1

   

Allora per il teorema 5.8, possiamo concludere che

   

Il teorema 5.8 trova applicazione anche in situazioni dove il limite è infinito. In questi casi, è sufficiente limitare la successione da un solo “lato”.

   

In altre parole, se è limitata dal basso da una successione divergente a , allora anch’essa diverge a ; analogamente se è limitata dall’alto da una successione divergente a , allora anch’essa diverge a .

Dimostrazione. Mostriamo solo il caso 1, in quanto il caso 2 si prova in modo simile oppure può essere ottenuto considerando le successioni . Si fissi . Poiché , esiste tale che per ogni . Per (77) si ha

(78)  

ossia, per l’arbitrarietà di , abbiamo che .

A questo punto abbiamo gli strumenti necessari per dimostrare la proposizione 3.18.

Dimostrazione della proposizione 3.18. Mostriamo l’equivalenza mediante una doppia implicazione.

   

• 1 2.

Consideriamo per ogni con l’intorno circolare di di raggio

   

Poiché è un punto di accumulazione per l’insieme , allora l’intorno contiene almeno un elemento diverso da :

(79)  

Abbiamo creato una successione a valori in che converge a per il teorema del confronto 5.8, visto che le due successioni e convergono entrambe a .

 

• 2 1.

Per ipotesi è una successione di valori nell’insieme che converge a , quindi per definizione di limite 3.2 per ogni intorno di , esiste tale che

(80)  

Quindi ogni intorno di contiene almeno un elemento dell’insieme diverso da , ovvero è un punto di accumulazione.

Esempio 5.11. Sia . Allora

   

Analizziamo separatamente i diversi casi.

   

• . In tal caso, possiamo scrivere con . Quindi, per la disuguaglianza di Bernoulli (35), si ha

  (81)  

  Poiché , si ha per i punti 1 e 2 della proposizione 4.4. Dunque, dal teorema 5.10, segue che .

 

• . In tal caso, ovviamente è costantemente pari a , dunque .

 

• . L’enunciato è ovvio per . Se , vogliamo mostrare che ; osserviamo che esiste tale che . Quindi

  (82)  

  dove l’ultima uguaglianza segue da per il caso , e dal punto 3 della proposizione 4.4. Poiché abbiamo mostrato che , per la proposizione 4.3 vale anche .

 

• . Consideriamo le sottosuccessioni dei termini pari e dei termini dispari, che sono rispettivamente positivi e negativi. Più precisamente, usando il caso , si ottiene

  (83)  

  Avendo due estratte con limiti diversi, per la proposizione 3.16 dunque, la successione non ha limite.

Osservazione 5.12. Utilizzando gli stessi ragionamenti dell’esempio 5.11, si può dimostrare che

   

   

---

6. In logica, si dice che si tratta della contronominale della proposizione 5.4. ↩

Abbiamo visto, col teorema 3.19, che una successione convergente è limitata. Il viceversa di tale risultato è in generale falso: la successione dell’esempio 3.20 è limitata ma non convergente. Il teorema di Bolzano-Weierstrass consiste però in una parziale inversione del teorema 3.19: esso infatti afferma che ogni successione limitata possiede sempre una sottosuccessione convergente. Dunque, il viceversa del teorema 3.19 vale a meno di passare a un’opportuna estratta della successione iniziale.

Proponiamo due dimostrazioni di questo risultato: la prima fa uso del teorema 5.2 sull’esistenza di estratte monotone, mentre la seconda è più costruttiva e intuitiva, anche se leggermente più articolata.

   

Dimostrazione. Consideriamo una successione limitata . Secondo il teorema 5.2, ammette una sottosuccessione monotona . Per il teorema 5.1, questa sottosuccessione ha un limite . Inoltre, essendo una sottosuccessione di una successione limitata, anch’essa è limitata. Di conseguenza, applicando nuovamente il teorema 5.1, deduciamo che converge a un numero reale .

L’ultima affermazione segue immediatamente dalla caratterizzazione degli insiemi chiusi data dalla proposizione 3.13.

Dimostrazione alternativa del teorema 5.13. Cominciamo osservando che, poiché per ipotesi la successione è limitata, esistono tali che

(84)  

L’idea della dimostrazione consiste nel costruire per ricorrenza una successione “decrescente” di intervalli (ossia con la proprietà che ) dimezzando ogni volta l’intervallo precedente in modo tale che ognuno contenga infiniti termini della successione, e di costruire la sottosuccessione selezionando l’elemento dall’intervallo , ottenendo quindi

(85)  

Da seguirà che la successione è crescente e è decrescente. Da tale monotonia e da si avrà che e convergono allo stesso limite e, per il teorema 5.8, anche vi convergerà.

   

• Passo base: . Dividiamo l’intervallo a metà. Scegliamo la metà, chiamata , che contiene infiniti elementi di . Selezioniamo poi un termine della successione all’interno di questo intervallo e lo chiamiamo . Di conseguenza, abbiamo

  (86)  

 

• Passo induttivo: . Supponiamo di aver già determinato l’intervallo che contiene infiniti termini di e di aver scelto in modo tale che soddisfi (85). Il nostro obiettivo è ora selezionare . Dividiamo in due parti uguali e definiamo come una delle metà che contiene infiniti termini di (almeno una delle metà deve necessariamente soddisfare questa condizione). Quindi,

  (87)  

  Scegliamo all’interno di in modo che , garantendo così che la sottosuccessione sia crescente negli indici. Di conseguenza, abbiamo che

  (88)  

Per induzione risultano dunque definite le successioni : esse soddisfano (85). Poiché è crescente e limitata (dall’alto dai termini della successione ), essa risulta convergente per il teorema 5.1 a un valore . Inoltre, dall’ultima uguaglianza in (85), dal fatto che e dal punto 3 della proposizione 4.4 e 4.1, segue che anche . Quindi, di nuovo per (85) e per il teorema 5.8, si ha

(89)  

Riguardo l’ultima affermazione, se è a valori in , con chiuso, allora anche è a valori in . Per la caratterizzazione per successioni degli insiemi chiusi data dalla proposizione 3.13, il suo limite .

Per completezza, presentiamo un’altra formulazione equivalente del del Teorema di Bolzano-Weierstrass.

   

Dimostrazione. Poiché è infinito, possiamo costruire una successione con valori in per induzione come segue. Fissiamo , e supponendo di aver definito , definiamo scegliendo un elemento in (tale insieme non è vuoto in quanto è infinito). La successione è limitata e, in accordo al Teorema 5.13, possiede una sottosuccessione convergente a un valore .

Affermiamo che è un punto di accumulazione di . Infatti, sia . Poiché , esiste tale che

(90)  

Dato che per costruzione la sottosuccessione è costituita da punti di tutti distinti, (90) implica che nell’intorno esiste almeno un punto di diverso da . Per la definizione 1.14, è quindi un punto di accumulazione per .

Osservazione 5.15. Per dimostrare il teorema 5.14 abbiamo quindi usato il teorema 5.13. Viceversa, il teorema 5.14 permette di dimostrare facilmente il teorema 5.13. Infatti, sia una successione limitata. Se assume un numero finito di valori, esiste tale che per infiniti indici . Quindi frequentemente e quindi, per la proposizione 2.21 esiste un’estratta costantemente pari a , che risulta ovviamente convergente. Se invece assume infiniti valori, l’insieme risulta infinito e limitato. Dunque, per il teorema 5.14, esso possiede un punto di accumulazione . Usando la proposizione 1.17, si costruisce quindi facilmente una sottosuccessione convergente a .

Osservazione 5.16. Il teorema 5.2 implica che, se non è limitata, allora possiede un’estratta divergente.

Il teorema di Bolzano-Weierstrass permette di stabilire la seguente proprietà degli insiemi chiusi.

   

Osservazione 5.18. La parte importante del teorema è che . Infatti, l’esistenza di siffatti numeri reali è data dalla definizione di limitatezza di .

Dimostrazione. Poiché è limitato, esistono finiti e . Mostriamo quindi che . Per definizione di estremo inferiore

(92)  

La successione così definita è a valori in e converge a per il teorema del confronto 5.8. Per la proposizione 3.13, il suo limite appartiene ad perché è chiuso. Analogamente si prova che .

Un concetto strettamente correlato a quello di limite consiste nella nozione di successione di Cauchy. Intuitivamente, una successione è di Cauchy se da un certo indice in poi gli elementi sono arbitrariamente vicini tra loro al crescere dell’indice . Vedremo dal teorema 6.2 che tale condizione è equivalente alla convergenza della successione.

   

Intuitivamente, una successione è di Cauchy, se per qualunque valore , da un certo indice in poi gli elementi di hanno distanza minore di .

   

Dimostrazione. () Una successione che ammette un limite finito è di Cauchy: dato , troviamo tale che per ogni . Dunque per si ha che

   

ovvero la successione è di Cauchy.

() Supponiamo che sia di Cauchy. Fissando , esiste tale che

(93)  

Scegliendo si ottiene

(94)  

Si ha quindi

(95)  

ovvero la successione è limitata. Per il teorema 5.13, esiste una sua sottosuccessione convergente a un numero reale .

Mostriamo che l’intera successione converge a . A tal fine, osserviamo che implica l’esistenza di tale che

(96)  

Da ciò segue che

(97)  

dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare, mentre la seconda segue da (93) per il primo addendo (in quanto per il lemma 3.15) e da (96) per il secondo addendo. Per l’arbitrarietà di , (97) prova che .

Poiché abbiamo dimostrato che le successioni di Cauchy sono tutte e sole le successioni convergenti, possiamo affermare che per esse valgono le stesse proprietà delle successioni convergenti. Ad esempio, consideriamo due successioni e di Cauchy; allora:

   

1. La successione è una successione di Cauchy.

 

2. La successione è una successione di Cauchy.

Riportiamo un corollario di questo teorema che risulta molto utile nella pratica: infatti, data una successione , può essere semplice calcolare il limite di una particolare sottosuccessione . Se la successione è di Cauchy, allora essa converge a .

   

Dimostrazione. Poiché è di Cauchy, allora essa è convergente a un numero reale per il teorema 6.2. Per il teorema 3.16 si ha quindi . Poiché per ipotesi, dal teorema 3.12 deve aversi , e quindi

(99)  

La nozione di successione di Cauchy e la caratterizzazione data dal teorema 6.2 sono molto utili nella pratica perché permettono di stabilire la convergenza di una successione senza calcolare esplicitamente il limite (cosa che può essere anche impossibile), fornendone una stima. Vediamo in dettaglio la cosa con un esempio.

Esempio 6.4. Consideriamo la successione definita da

(100)  

Proviamo che essa è convergente a un limite e determiniamo una sua stima.

Mostriamo che è strettamente compreso tra e . Per fissare le idee, supponiamo che sia dispari (l’altro caso è analogo); allora abbiamo

(101)  

Quindi . Reiterando questa disuguaglianza, si ottiene (per dispari)

(102)  

Poiché tutti i termini successivi sono strettamente contenuti tra e , si ha

(103)  

ossia che la successione è di Cauchy e quindi, per il teorema 6.2 essa converge a un limite . Calcolando il limite per in (102), per la proposizione 5.5, si ha

(104)  

che fornisce una stima di precisione pari a su . Quindi, ad esempio, per , si ha

(105)  

È possibile dimostrare che .

In Matematica il numero di Nepero è una costante alla base della funzione esponenziale e del logaritmo naturale. E’ un numero irrazionale trascendente⁷ (come ) estremamente interessante; insieme alla relativa funzione esponenziale, lo ritroviamo in tantissimi ambiti: dallo studio dei circuiti e della termodinamica in fisica, alla densità di variabili aleatorie in calcolo delle probabilità.

Esistono diverse definizioni del numero di Nepero, ma in questa trattazione adotteremo l’approccio più comune, che lo definisce come il limite di una successione.

   

Dimostrazione.

1. Dimostriamo che la successione è crescente;

   (107)  

   Utilizziamo la disuguaglianza di Bernoulli

      

   per che risulta ovviamente maggiore di per , ottenendo dunque

      

   quindi per .

   Dimostriamo che la successione è decrescente; analogamente a quanto fatto per dimostriamo che:

      

   L’ultima maggiorazione è vera sempre grazie alla disuguaglianza di Bernoulli per ,

      

   dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato la disuguaglianza , che è vera perché equivale a per ogni .

 

2. Dalla definizione di e otteniamo:

      

   per ogni . Di conseguenza,

   (108)  

 

3. L’equazione precedente (108) dimostra quindi che e sono successioni monotone e limitate, quindi per il teorema 5.1 sono convergenti rispettivamente a e . Utilizzando la proposizione 5.5, otteniamo la seguente stima:

   (109)  

   Dimostriamo ora che . Per farlo, osserviamo che:

      

   Poiché è limitata e la successione tende a zero, per il teorema 4.6 abbiamo , quindi:

      

   Pertanto, e convergono allo stesso limite . Calcolando (109) per , otteniamo:

      

   In particolare, .

Il limite comune delle due successioni del teorema 7.1 riveste notevole importanza in Matematica e nelle altre scienze e merita pertanto una definizione.

   

Come abbiamo anticipato, il numero di Nepero è molto importante, e vi sono numerose successioni che vi convergono. Tra di esse, vogliamo mostrare che è il limite della successione , ovvero le somme dei reciproci dei fattoriali dei numeri interi non negativi. Per dimostrare ciò, premettiamo le seguenti proprietà.

   

Dimostrazione.

1. Dalla definizione di coefficiente binomiale, otteniamo:

      

   dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato il fatto che .

 

2. Dimostriamo l’asserto per induzione:

      

   • Per , abbiamo che e , quindi .

    

   • Supponiamo vera la tesi per , dimostriamo l’asserto per :

        

     Per ottenere la tesi, osserviamo che se e solo se , il che è vero per . Quindi possiamo concludere che .

 

3. Dimostriamo per induzione l’uguaglianza:

   (111)  

      

   • Per :

        

    

   • Supponiamo vera l’ipotesi per e dimostriamo l’asserto per :

        

   Per induzione, (111) è dimostrata.

Possiamo ora mostrare la seguente caratterizzazione del numero di Nepero.

   

Dimostrazione. Consideriamo le successioni

(113)  

che sappiamo convergere a per il teorema 7.1, e definiamo la successione come

(114)  

Dividiamo la dimostrazione in vari punti.

   

• è crescente. Tale asserto è ovvio in quanto è una somma di termini positivi:

  (115)  

 

• per ogni . Si ha infatti

  (116)  

  dove nella prima disuguaglianza abbiamo usato 2, mentre l’ultima uguaglianza segue da 3.

  Da questi due primi punti e dal teorema 5.1 segue quindi che , ossia che è convergente con .

 

• per ogni . Vale

  (117)  

  dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato la formula del binomio di Newton, mentre la disuguaglianza segue da 1. Da e dalla proposizione 5.5, si ha quindi

  (118)  

 

• per ogni . Fissiamo . Osserviamo innanzitutto che per ogni , si ha

  (119)  

  Abbiamo quindi

  (120)  

  Si ha inoltre

  (121)  

  Passando al limite per in (120), si ha

  (122)  

  dove la prima uguaglianza segue dal teorema 7.1, la disuguaglianza segue da (120) e dalla proposizione 5.5, mentre la seconda uguaglianza segue da (121) e al punto 3 del teorema 4.1, grazie al fatto che è fissato e i fattori in (120) sono in numero pari al massimo a .

  Dato che per ogni , passando al limite per in (122), di nuovo per la proposizione 5.5 otteniamo

  (123)  

  Tale disequazione, insieme a (118), prova che , ossia che .

Osservazione 7.5. La stima per ogni fornisce un’altra dimostrazione del fatto che .    

---

7. Un numero si dice trascendente se non esiste alcun polinomio a coefficienti razionali che ha come radice . ↩

Il termine generale della successione definita in (106) è costituito dal prodotto di fattori pari a . Nonostante si abbia

(124)  

per calcolarne il limite di non si poteva usare il punto 3 del teorema 4.1 sul limite del prodotto, perché esso non è costituito da un numero fissato di fattori.

Notando che e sono costituiti da potenze in cui la base tende a e l’esponente tende a , ci si può chiedere se tutte le successioni siffatte tendano a . La risposta è negativa, come mostrano i prossimi esempi. Essi provano che

   

Esempio 7.6. Consideriamo la successione definita come segue:

(125)  

e mostriamo che . Osserviamo che

(126)  

dove la disuguaglianza segue dal fatto che per ogni , dimostrato nel teorema 7.1. Poiché come mostrato nell’esempio 3.9, per il teorema 5.10 abbiamo .

Il lettore può trovare per esercizio altri esempi in cui il limite è un qualsiasi numero reale non negativo.

In questa sezione, presenteremo il prossimo risultato.

   

Dimostrazione. Osserviamo che la tesi è già provata per . Allo stesso modo in cui si è fatto nella dimostrazione del teorema 7.1, si dimostra che le due successioni definite da

(128)  

sono rispettivamente crescenti e decrescenti⁸ e convergono allo stesso limite . Occorre quindi soltanto provare che per ogni .

   

• Nel caso in cui sia un numero razionale, scriviamo con e . Per tutti gli multipli di , ossia tali che per qualche si ha

  (129)  

  Poiché per l’ultimo membro dell’uguaglianza tende a per il teorema 7.1, allora la successione possiede una sottosuccessione convergente a . Poiché è convergente, per la proposizione 3.16 deve aversi

  (130)  

 

• . Supponiamo senza perdita di generalità che (l’altro caso è analogo). Per ogni tali che , per la monotonia delle potenze si ha

  (131)  

  Passando ai limiti per , per il punto precedente e la proposizione 5.5 si ha

  (132)  

  Poiché e sono arbitrari, scegliendo una successione e , per la definzione A.1 di potenza a esponente reale si ottiene

  (133)  

Ora, possiamo introdurre un utile corollario di questo teorema.

   

Dimostrazione. Poiché la successione è strettamente crescente se per la proposizione 7.7, si ha

(135)  

   

---

8. Ciò vale soltanto definitivamente se . Infatti, se ed è molto grande in modulo, la base della potenza è negativa per i primi , pertanto la potenza ha segno oscillante finché non diventa in modulo minore di . ↩

In questa sezione esamineremo vari criteri che consentono di analizzare la convergenza e la regolarità di una successione.

In questa sezione ci focalizziamo sul criterio del rapporto. Questo strumento fondamentale ci aiuta a determinare il limite di una successione positiva attraverso il calcolo del limite del rapporto tra due termini consecutivi, a condizione che tale limite esista.

   

Dimostriamo il teorema 8.1 come conseguenza della seguente proposizione, che esprime un risultato più forte.

   

Dimostrazione. Mostriamo separatamente i diversi casi.

   

1. Se con definitivamente, allora esiste tale che

   (136)  

   Quindi , . Generalizzando, abbiamo che

   (137)  

   Poiché , per l’esempio 5.11 si ha . Quindi, grazie a (137) e al teorema 5.10 si ha

   (138)  

   ossia .

 

2. Analogamente al punto precedente, si ottiene che esiste tale che

   (139)  

   Dato che , si ha . Da (139) e dal teorema 5.8 del confronto, si ha .

Possiamo ora dimostrare il criterio del rapporto.

Dimostrazione del teorema 8.1. Se con , scegliamo con . Per la definizione 3.2 definitivamente e quindi, per la proposizione 8.2 si ha .

Analogamente, se con , scegliamo con . Poiché per la definizione 3.2 vale definitivamente, si ha per la proposizione 8.2.

Osserviamo che il criterio del rapporto non dà informazioni se . Infatti consideriamo il seguente esempio.

Esempio 8.3. Siano e . È noto che , mentre . Tuttavia, osserviamo che:

(140)  

In entrambi i casi, il limite del rapporto dei termini successivi converge a , ma le caratteristiche delle successioni e sono nettamente diverse. Si invita il lettore a esplorare ulteriori esempi dove , ma per un qualsiasi .

Introduciamo ora un ulteriore criterio di convergenza: il criterio della radice. Questo metodo si basa sostanzialmente sul confronto dei termini di una successione con quelli della successione nei casi e .

   

Anche in questo caso, otteniamo il teorema 8.4 come corollario della proposizione seguente.

   

Dimostrazione. Analizziamo i diversi casi separatamente.

   

• 1 Consideriamo il caso in cui e definitivamente. Allora esiste un tale che per ogni si ha

  (141)  

  Dato che , sappiamo dall’esempio 5.11 che . Quindi, applicando il teorema 5.10, concludiamo che

  (142)  

 

• 2 Nel caso in cui definitivamente con , esiste un per cui

  (143)  

  Poiché , e di nuovo per l’esempio 5.11, . Dunque, applicando il teorema 5.8, risulta che

  (144)  

Possiamo ora dimostrare il teorema 8.4.

Dimostrazione del teorema 8.4. Se con , scegliendo per definizione di limite si ha definitivamente . Per la proposizione 8.5 vale quindi .

Analogamente, se con , allora fissando per definizione di limite si ha definitivamente. Quindi di nuovo per la proposizione 8.5.

Osservazione 8.6. Anche il criterio della radice non fornisce informazioni nel caso in cui . Esaminiamo i seguenti esempi per chiarire questo punto.

Esempio 8.7 (). Sia con (il caso è analogo). Vale ovviamente in quanto la successione è costante. Mostriamo che . Osserviamo innanzitutto che, per la monotonia della radice -esima, si ha per ogni .

Quindi si può scrivere con . Allora, applicando la disuguaglianza di Bernoulli (35) si ha

(145)  

Poichè , per il teorema 5.8 vale anche , ovvero

(146)  

Quindi tutte le successioni costanti soddisfano , ma hanno limiti diversi.

Esempio 8.8. Consideriamo la successione . Fissando , per la monotonia della funzione e poiché , si ha che definitivamente. Dato che è arbitrario e , deve aversi

(147)  

D’altra parte si ha

(148)  

Per mostrare che tale limite è , osserviamo che la successione è decrescente, quindi ha limite per il teorema 5.1. Inoltre, considerando la sottosuccessione , si ha

(149)  

e

(150)  

per l’esempio 8.7. Dato che la successione ha limite e una sua estratta ha limite 1, allora essa ha globalmente limite per il teorema 3.16. Dunque ma .

Possiamo mostrare che il criterio della radice è più generale del criterio del rapporto: se il criterio del rapporto fornisce la convergenza o la divergenza di una successione, allora anche il criterio della radice lo fa. Mostriamo inoltre con un controesempio che il viceversa è falso: esistono successioni per cui il criterio del rapporto non dà informazioni sulla sua convergenza, mentre il criterio della radice fornisce la convergenza.

   

Dimostrazione. Consideriamo solo il caso in quanto i casi e si ottengono in maniera del tutto analoga, con una versione “unilaterale” del seguente argomento.

Consideriamo tale che .

Poiché esiste tale che

(153)  

Ciò vuol dire che

(154)  

Iterando questa disuguaglianza da a , otteniamo

(155)  

ovvero

(156)  

Calcolando la radice -esima dei membri della disuguaglianza, si ottiene

(157)  

Poiché i termini e sono positivi e non dipendono da , per l’esempio 8.7 si ha

(158)  

Per (157) e per la proposizione 5.4, si ha

(159)  

Per l’arbitrarietà di si ha .

Mostriamo ora un esempio di successione la cui divergenza può essere stabilita con il criterio della radice, ma non con il criterio del rapporto.

Esempio 8.10. Consideriamo la successione definita da

(160)  

La successione è chiaramente divergente in quanto

(161)  

usando il teorema 5.10. Si ha però

(162)  

che mostra che non esiste, quindi il criterio del rapporto non dà informazioni sul carattere della successione. Invece, volendo applicare il criterio della radice, si ottiene

(163)  

Poiché la successione è pari alternativamente a e , per l’esempio 8.7 si ha

(164)  

da cui, inserendo in (163) otteniamo

(165)  

Quindi il criterio della radice afferma che è divergente.

In questa sezione riportiamo alcuni semplici esempi di come è possibile sfruttare i teoremi di convergenza per calcolare dei limiti. Inizieremo inoltre a enunciare i primi limiti notevoli, ovvero quei limiti che si presentano in una forma indeterminata e che poi, con specifiche dimostrazioni e/o criteri, vengono risolti. Dopo aver determinato il valore del limite di queste specifiche forme indeterminate è possibile, come per ogni dimostrazione, sfruttare il risultato e applicarlo a esercizi più complessi.

Esempio 9.1. Calcolare

   

Entrambe le successioni, quella al numeratore e quella al denominatore divergono a , quindi ci troviamo di fronte a un a forma indeterminata del tipo . La divergenza di questa successione si potrebbe ottenere come conseguenza del teorema del confronto 5.10: si ha infatti

(166)  

dove l’ultima disuguaglianza deriva dal fatto che il primo fattore è , mentre tutti gli altri sono maggiori di . Poiché la successione è divergente, per il teorema 5.10, tale è anche .

Mostriamo però anche un altro modo per ottenere tale risultato, che consente di dedurre delle conseguenze interessanti. Definitivamente la successione è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto 8.1 e ottenere

   

e concludere che

   

Questo per la proposizione 8.9 ci permette di concludere che

(167)  

In particolare deve aversi

   

altrimenti il limite in (167) non potrebbe valere .

Il risultato (167) dell’esempio 9.1 suggerisce di confrontare la successione con , cioè suggerisce che esse tendano a in modo confrontabile. Infatti produciamo il prossimo risultato che è molto utile come stima del fattoriale, in maniera simile alla cosiddetta formula di Stirling.

   

Dimostrazione. Consideriamo le successioni e definite come

(169)  

   

• è crescente. Calcolando il rapporto , dimostriamo che è maggiore di :

  (170)  

  per il teorema 7.1, che implica per ogni .

 

• è decrescente. Analogamente, per si ha

  (171)  

  grazie al 7.1, che stabilisce per ogni .

  Quindi, dal fatto che è crescente

  (172)  

  e dal fatto che è decrescente si può dedurre che

  (173)  

  completando la dimostrazione.

  Osservazione 9.3 (formula di Stirling). L’approssimazione del fattoriale nella proposizione precedente può essere migliorata; vale infatti la seguente formula di Stirling sul comportamento asintotico del fattoriale, che ci limitiamo a enunciare:

     

  Esempio 9.4. Calcoliamo

     

  dove è un parametro fissato.

  Studiamo separatamente i casi:

     

  • Possiamo riscrivere la successione come

       

    che risulta divergente a perché è prodotto di due successioni divergenti a .

   

  • Si ha

       

   

  • Entrambe le successioni al numeratore e al denominatore divergono a , quindi ci troviamo di fronte a un a forma indeterminata del tipo .

    La successione è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto 8.1 e ottenere

       

    Allora possiamo concludere che

       

    poiché e .

  In conclusione, per ogni il limite richiesto vale

  Esempio 9.5. Calcoliamo

     

  dove e sono parametri fissati. Come per gli esempi precedenti possiamo applicare il criterio del rapporto 8.1 a questa forma indeterminata .

     

  Per il criterio del rapporto 8.1 possiamo concludere che

     

  Possiamo generalizzare l’esempio precedente.

  Esempio 9.6 (). con ).Se è una successione, mostriamo che

     

  Osserviamo che, poiché , essa è definitamente positiva per il teorema di permanenza del segno 5.3 e quindi la successione è definitivamente ben definita.

  Procediamo ora suddividendo la dimostrazione in base ai diversi casi relativi all’esponente .

     

  • . Scrivendo , si ottiene

    (174)  

    dove la disuguaglianza deriva dal corollario 7.8. Poiché l’esponente e , si ha . Per il teorema del confronto 5.10, si ha

    (175)  

   

  • . Possiamo facilmente ricondurci al caso precedente fissando tale che e scrivendo

    (176)  

    Poiché ora l’esponente al denominatore è , si può usare il punto precedente e ottenere che

    (177)  

    Per il teorema 4.1, si ha quindi

    (178)  

  Esempio 9.7. Mostriamo che

     

  Analogamente al caso precedente la successione , essa è definitamente positiva per il teorema di permanenza del segno 5.3 e quindi la successione è definitivamente ben definita.

     

  • . In questo caso, il risultato è immediato: mentre , pertanto il rapporto è infinitesimo in virtù del teorema 4.1.

   

  • e . Scegliamo arbitrario. Utilizzando le proprietà dei logaritmi, otteniamo

    (179)  

    Questa disuguaglianza si verifica definitivamente poiché , applicando l’esempio 9.6 con al posto di e (notiamo che poiché e ). Pertanto, per l’arbitrarietà di , concludiamo che

    (180)  

  • e . Nel caso generale, osserviamo che possiamo definire una successione che soddisfa nuovamente in quanto e possiamo scrivere

    (181)  

    Possiamo quindi applicare il punto precedente con con al posto di e ottenere la tesi.

  Esempio 9.8 (). Mostriamo che

     

  Consideriamo la successione . Poiché si ha

  (182)  

  per la proposizione 8.9 si ha anche

  (183)  

  Esempio 9.9. Verifichiamo in modo alternativo a quanto fatto in 9.8 che

     

  Dalla definizione di logaritmo possiamo riscrivere come e ottenere

     

  dove l’ultima uguaglianza vale per l’esempio 9.7.

Le successioni che abbiamo incontrato negli esempi precedenti sono tutte divergenti a e possono essere “ordinate” in una lista in cui il rapporto tra il termine successivo e il precedente tende a infinito:

   

Tale lista viene informalmente denominata gerarchia degli infiniti.

Grazie all’esempio 9.8 possiamo mostrare che

   

Infatti l’esempio 9.8 mostra un caso in cui tale forma ha limite . Facciamo vedere che esistono esempi in cui il limite è pari a o a qualche altro numero reale.

Esempio 9.10. Consideriamo la successione definita da , che possiamo scrivere come

(184)  

ossia come un limite del tipo . Chiaramente però è una successione divergente.

Esempio 9.11. Sulla falsariga dell’esempio precedente, consideriamo la successione costante , dove è fissato. Come sopra possiamo riscriverla come

(185)  

che è di nuovo della forma (si osservi che perché per l’esempio 5.11). Essendo costantemente pari a , essa tende a .

Osserviamo che, dagli esempi precedenti, facilmente si ottiene che

   

Infatti, consideriamo le seguenti successioni.

Esempio 9.12. Mostriamo tre esempi di successioni del tipo con , , ma tali che hanno limiti diversi.

   

• Poniamo . Si ha

  (186)  

  dove l’ultima uguaglianza segue dall’esempio 9.8.

 

• Si consideri ora e . Si ha

  (187)  

 

• Poniamo infine con e . Per l’esempio 5.11, poiché , vale , quindi è una forma del tipo . D’altra parte si ha

  (188)  

Consideriamo il caso in cui due successioni e siano differenti, ma al limite mostrino un comportamento simile. Per esempio, prendiamo

(189)  

Sebbene le due successioni siano diverse, poiché , il termine aggiuntivo diventa trascurabile all’infinito, essendo molto più piccolo in modulo rispetto a . Questo fenomeno può essere descritto con la seguente definizione.

Esempio 10.2. Consideriamo la successione polinomiale , definita come

(190)  

dove e . In questo caso, si può affermare che è asintoticamente equivalente a . Infatti:

   

Questo metodo di analisi può essere esteso a successioni simili a quella definita in 10.2 ma con esponenti razionali, dimostrando che la successione si comporta asintoticamente come la potenza di con l’esponente più alto.

La precedente discussione serve a confrontare successioni che assumono un comportamento simile per . Risulta molto utile introdurre una ulteriore notazione per indicare invece che una successione è trascurabile rispetto a un’altra successione al limite per .

   

Osservazione 10.4. Se è una successione infinitesima, allora , infatti

   

Quindi dire che una successione è un -piccolo di vuol dire che la successione risulta in qualche maniera trascurabile rispetto alla successione .

Esempio 10.5. Nell’esempio 9.1 abbiamo dimostrato che

   

ovvero per il punto 3 della proposizione 4.4

   

quindi per o, come scriveremo spesso negli esercizi,

Esempio 10.6. Nell’esempio 9.4 abbiamo dimostrato che

   

per , ovvero per il punto 3 della proposizione 4.4

   

quindi per o, come scriveremo spesso negli esercizi,

Esempio 10.7. Nell’ esempio 9.5 abbiamo dimostrato che

   

per e , ovvero per il punto 3 della proposizione 4.4

   

quindi per o, come sfrutteremo spesso negli esercizi,

Esempio 10.8. Nell’esempio 9.7 abbiamo dimostrato che

   

per e , quindi per o, come scriveremo spesso negli esercizi,

Il prossimo risultato chiarisce come due successioni asintotiche siano essenzialmente equivalenti nel calcolo di un limite.

   

Dimostrazione.

1. Poiché e sono due successioni asintotiche è sufficiente notare che

      

   sfruttando l’osservazione precedente e il teorema 4.1.

 

2. Per le stesse proprietà

      

 

3. Il principio di sostituzione è una semplice conseguenza della definizione di successioni asintotiche:

      

   quindi . Analogamente

      

   Infine

      

Osservazione 10.10. Non vale il viceversa della prima proprietà descritta dal teorema precedente, ovvero esistono delle successioni che hanno lo stesso limite, ma non sono asintotiche, ad esempio se consideriamo e . Sappiamo che

   

ma

   

quindi le due successioni non sono asintotiche.

Seguono alcuni esempi di calcolo di limiti di successioni fratte che hanno come ulteriore obiettivo quello di mostrare come la forma sia indeterminata.

Esempio 10.11. Calcoliamo

   

Dall’esempio 10.2 sappiamo che e ; allora per il principio di sostituzione 3 nel teorema 10.9

   

Esempio 10.12. Calcoliamo

   

Dall’esempio 10.2 sappiamo che e ; allora grazie al principio di sostituzione 3 nel teorema 10.9

   

Esempio 10.13. Calcoliamo

   

Poiché , allora sempre per l’esempio 10.2 possiamo concludere che e . Grazie al principio di sostituzione 3 del teorema 10.9

   

Osservazione 10.14. Possiamo quindi concludere che se e sono due funzioni polinomiali di grado rispettivamente e , allora

   

Come illustrato nell’esempio 10.2, questo ragionamento può essere generalizzato anche per le successioni che contengono potenze di con esponenti razionali.

Le pagine successive sono dedicate al teorema di Stolz-Cesàro, che è una versione discreta del teorema di De L’Hôpital, e ai relativi corollari. Iniziamo con un risultato fondamentale che afferma essenzialmente che se il rapporto tra due successioni e tende a , allora anche il rapporto tra le somme dei primi termini tenderà a

   

Dimostrazione. Supponiamo ; per la generalizzazione al caso basterà considerare solo un verso delle disuguaglianze di questa dimostrazione.

Per ipotesi, fissato un valore esiste tale che

   

Poiché sempre per ipotesi la successione è positiva, si ha

   

e quindi per

   

Aggiungendo ai membri delle disuguaglianze la quantità , otteniamo

   

ovvero

   

Dividendo i membri della disuguaglianza per , otteniamo

(191)  

Poiché per , allora

   

quindi è possibile determinare tale che

   

Usando le disuguaglianze (191) otteniamo che

   

Per l’arbitrarietà di otteniamo la tesi.

Osservazione 11.2. Consideriamo due successioni

   

Verifichiamo l’importanza dell’ipotesi 2 con un controesempio. Ovviamente per ogni e

   

ma

   

dove abbiamo sfruttato l’uguaglianza = se . In questo caso

   

   

Dimostrazione. Consideriamo la successione per ogni , allora

   

1. per ogni ,/li>  

2. ./li>  

3. .

Allora per il teorema 11.1

   

Esempio 11.4. Il viceversa del corollario 11.3 è falso. Consideriamo la successione : dall’esempio 3.20 sappiamo che essa non ammette limite, mentre la successione della media aritmetica dei suoi termini soddisfa

   

e quindi tende a .

Enunciamo e dimostriamo un ulteriore teorema di Stolz-Cesaro, che formalizza un’idea che intuitivamente può essere descritta come segue: se consideriamo due successioni di numeri reali e tali che i rapporti tra gli incrementi tendeno a un valore allora è ragionevole aspettarsi che il rapporto tra i termini -esimi delle due successioni tenderà a .

   

Dimostrazione. Poniamo per semplicità e e definiamo le due nuove successioni

   

per . Allora

(192)  

In particolare la successione ha le seguenti proprietà:

   

• per ogni perché per ipotesi è strettamente crescente.

 

• Per (192) perché la successione è strettamente crescente e illimitata.

Inoltre

   

quindi per il corollario 11.3 si ha

   

Esempio 11.6. Consideriamo le due successioni

   

per ogni . Ovviamente la successione è positiva, strettamente crescente e illimitata. Inoltre

   

Allora per il teorema 11.5 possiamo concludere che

   

Il viceversa del teorema 11.5 è in generale falso, ossia non si può asserire l’esistenza del limite basandosi sull’esistenza di , come mostra il seguente esempio.

Esempio 11.7. Consideriamo le successioni definite da

(193)  

è positiva, crescente, illimitata e vale

(194)  

Tuttavia il limite

(195)  

non esiste.

   

Dimostrazione. Consideriamo la successione , allora questa è positiva, strettamente crescente e illimitata. Inoltre

   

quindi per il teorema 11.5 si ha

   

   

Dimostrazione. Consideriamo la successione . Si ha

(196)  

Per le proprietà di continuità dei logaritmi si ha

(197)  

e chiamiamo tale limite. Applicando il corollario 11.3 alla successione e tenendo conto di (196) si ottiene

(198)  

Dalle proprietà della funzione esponenziale, inversa del logaritmo, si ha quindi

(199)  

Il teorema ponte stabilisce l’equivalenza tra il calcolo del limite di una funzione in un punto e il calcolo dei limiti delle successioni con successione avente limite . Presentiamo qui una dimostrazione concisa che sfrutta gli intorni, compresi quelli dei punti all’infinito, introdotti nella sezione 1.1. Una dimostrazione dettagliata dei diversi casi può essere consultata in [8, Il Teorema Ponte].

   

Dimostrazione. Dimostriamo separatamente che 1 implica 2 e poi che 2 implica 1.

   

• 1 2. Sia una successione a valori in tale che e definitivamente. Per mostrare che , fissiamo un qualunque intorno di e ricordiamo che, per definizione di limite di funzione esiste un intorno di tale che

  (201)  

  Poiché e definitivamente, esiste tale che

  (202)  

  Unendo (202) e (201), si ottiene

  (203)  

  Per l’arbitrarietà dell’intorno di , vale che .

 

• 2 1. Supponiamo per assurdo che , cioè che esiste un intorno di tale che ogni intorno di contenga tale che e costruiamo una successione soddisfacente le ipotesi in 2 ma tale che non converga a .

  A tal fine, consideriamo la famiglia di intorni di seguente:

  (204)  

  Per quanto detto, per ogni esiste tale che

  (205)  

  Chiaramente la successione è a valori in e vale per ogni . Mostriamo ora che ; ciò segue però dalla definizione (204) degli intorni :

  (206)  

  In tutti i casi infatti, per i teoremi del confronto 5.8 e 5.10, si ha che . D’altra parte, per (205) ovviamente la successione non ha limite . Ciò contraddice l’ipotesi 2 e tale assurdo dimostra quindi 1.

Quindi, se conosciamo il limite della funzione per , possiamo essere sicuri che, se al posto della variabile sostituiamo i termini di una successione che tende a e calcoliamo il limite per , il valore del limite stesso non cambia. Mostriamo ora qualche esempio di applicazione del teorema 12.1

Esempio 12.2.

1. Sappiamo dai limiti notevoli per le funzioni di variabile reale che

      

   Adesso grazie al teorema 12.1 siamo in grado di affermare che,

   (207)  

   Ad esempio se consideriamo , si ha

      

2. Un altro limite notevole per le funzioni di variabile reale è

   (208)  

   Adesso grazie al teorema 12.1 siamo in grado di affermare che

      

3. Sempre grazie al teorema ponte 12.1 e ai limiti notevoli per le funzioni reali di variabile reale sappiamo che

      

4. Analogamente a quanto detto per i limiti precedenti,

   (209)  

Per le dimostrazioni dei limiti notevoli di funzioni sfruttati in questo esempio si rimanda a [7, teorema 93].

In molte situazioni, ad esempio per descrivere eventi che si ripetono a tempi discreti e la cui evoluzione dipende dagli stati precedenti, è utile considerare le successioni definite per ricorrenza (dette anche ricorsive) il cui termine -esimo è definito da una funzione dei termini precedenti. Come primo esempio, possiamo considerare una successione espressa come:

   

dove è un numero reale e è una funzione.

Esempio 13.1. La successione

   

è definita per ricorrenza. A partire dal primo termine è possibile determinare i termini successivi

   

e così via.

Diamo la seguente definizione.

Esempio 13.3. Un classico esempio di successione definita per ricorrenza è quella che permette la costruzione dei numeri di Fibonacci:

   

Come nell’esempio 13.1 è possibile determinare i termini successivi a partire da e :

   

e così via.

Per la maggior parte delle successioni ricorsive è difficile determinare un’espressione analitica del temine generale, perciò è generalmente impossibile affrontare il loro studio con gli strumenti finora sviluppati per le successioni classiche. Si rimanda a [9, Successioni definite per ricorrenza — Esercizi misti] per numerosi esempi sulle diverse strategie per lo studio di questo tipo di successioni. In queste pagine cerchiamo di enunciare i risultati principali.

Esempio 13.4. Consideriamo la successione ricorsiva

   

Affinché tale espressione definisca effettivamente una successione, gli elementi della successione devono soddisfare la condizione

   

ovvero . Ma, calcolando i primi termini della successione, vediamo che dovrebbe aversi

   

che è ovviamente impossibile in .

Una volta stabilito che l’espressione data definisca effettivamente una successione per ricorrenza, sorge la questione di studiarne l’eventuale limite. Tale problema è generalmente affrontato in due passi distinti: si stabilisce inizialmente l’eventuale esistenza del limite, e successivamente lo si determina con ragionamenti ulteriori.

Esempio 13.5. Determiniamo se la successione definita per ricorrenza

   

è convergente, divergente o indeterminata. Osserviamo che il termine generale sia ben definito per ogni . Infatti, dall’espressione che definisce , esso esiste se e solo se . Dimostriamo per induzione che ciò è vero per ogni :

   

• Passo base: per per definizione;

 

• Passo induttivo: per ipotesi induttiva , allora .

Proviamo adesso a calcolare esplicitamente i primi termini per capirne l’andamento

   

In questo modo possiamo ipotizzare che le due sottosuccessioni estratte, la prima dei soli termini dispari, la seconda dei soli termini par, possano essere riscritte come

   

Se riusciamo a dimostrarlo possiamo concludere che la successione di partenza è indeterminata. Se infatti per assurdo ammettesse limite, allora ogni sottosuccessione estratta convergerebbe a tale limite per la proposizione 3.16.

Dimostriamo per induzione che per ogni . La dimostrazione per la sottosuccessione dei termini pari sarà analoga.

   

• Passo base: per ;

 

• Passo induttivo: supponiamo vera la tesi per e dimostriamolo per :

     

Esempio 13.6. Calcoliamo dove è la successione definita per ricorrenza

   

Il termine generale è ben definito per ogni in quanto il termine successivo è il quadrato del precedente e tale operazione è sempre lecita. Determiniamo i primi valori della successione

   

Da questo possiamo dedurre che per ogni (è facilmente dimostrabile per induzione). Inoltre, dato che e per , possiamo concludere per l’osservazione 5.12 che

   

Nell’esempio appena esaminato è stato possibile determinare un’espressione esplicita del termine generale della successione e ciò ha consentito di calcolarne agevolmente il limite, utilizzando gli strumenti precedentemente sviluppati. Tale circostanza è però un caso fortuito e anzi, in generale, risulta impossibile determinare l’espressione esplicita del termine generale di una successione definita per ricorrenza. In tale maggioranza dei casi, occorre far leva su altre tecniche al fine di stabilire l’esistenza del limite e calcolarne l’eventuale valore. Una strategia che risulta spesso fruttuosa è la seguente.

Supponiamo di studiare una successione definita per ricorrenza da

(210)  

dove è fissato e è una funzione data, e assumiamo che tale espressione definisca effettivamente una successione. Supponiamo inoltre di sapere che . Poiché è una sottosuccessione di , deve aversi e, ricordando la definizione di , ciò implica che

(211)  

Tale equazione ha degli importanti risvolti sui possibili valori di . Infatti, se ad esempio ed è continua in , per il teorema ponte 12.1 deve aversi

   

cioè è necessariamente un punto fisso di . Come abbiamo già anticipato, questo pone forti restrizioni sui possibili valori del limite di una successione definita per ricorrenza come in (210). Infatti, essi devono necessariamente essere ricercati tra i punti fissi di , a patto che le condizioni sopra enunciate siano valide.

Più in generale, se non è costantemente pari a e ha limite in , allora sempre il teorema ponte 12.1 applicato a (211) fornisce

(212)  

È essenziale considerare che tali condizioni sono solo necessarie affinché il limite della successione (210) sia , ma non sufficienti. Esse cioè non implicano che il limite di tale successione esita e tale esistenza deve essere stabilita con altri metodi. Solo una volta ottenuta tale esistenza si possono applicare questi ragionamenti, al fine di determinare il valore dell’eventuale limite.

Esempio 13.7. Studiamo il comportamento della seguente successione definita per ricorrenza:

   

\end{esempio} Dimostriamo per induzione che la successione è ben definita, ovvero che

   

   

1. Per sappiamo che .

 

2. Supponiamo vera l’ipotesi per e dimostriamo l’asserto per ; poiché per ipotesi induttiva allora

      

   è ben definita è banalmente maggiore uguale a 0.

Calcoliamo alcuni termini della successione

   

e congetturiamo che la successione sia monotona crescente. Dimostriamo per induzione che per ogni .

   

1. L’ipotesi è verificata per ; infatti

      

 

2. Supponiamo vera l’ipotesi per e dimostriamo l’asserto per :

      

   e nella disuguaglianza abbiamo sfruttato la monotonia della funzione ; quindi, per induzione, la proposizione è vera per ogni .

Poiché la successione è monotona crescente, il teorema 5.1 assicura l’esistenza del limite e inoltre, poiché è una successione positiva, il teorema 5.3 ci assicura che . Dato che è una funzione continua in , se è finito, per (212) esso deve soddisfare

   

Gli unici valori possibili sono quindi e . Se il limite fosse , dato che la successione è crescente dovrebbe valere per ogni . Se invece il limite fosse , allora dovrebbe accadere che definitivamente. Dimostriamo per induzione che per ogni .

   

1. .

 

2. Supponiamo vera l’ipotesi per e dimostriamo l’asserto per :

      

Per induzione la proprietà è verificata per ogni ; quindi

   

e ciò conclude lo studio della successione.

Un metodo grafico per visualizzare l’andamento dei termini della successione è il diagramma a ragnatela. Disegniamo il grafico della funzione in un piano cartesiano e, partendo dal punto di coordinate , procediamo lungo la retta verticale fino a intersecare il grafico della funzione nel punto

   

Successivamente si procede lungo la retta orizzontale fino a intersecare la bisettrice del primo e del terzo quadrante nel punto per poi raggiungere verticalmente il grafico della funzione nel punto

   

e così via. Dal grafico

   

   

Figura 19: rappresentazione della costruzione dei punti del grafico a ragnatela.

   

   

si osserva che i punti si avvicinano al punto fisso della funzione .

Osservazione 13.8. La costruzione fatta nell’esercizio precedente suggerisce una strategia utile allo studio delle successioni definite per ricorrenza della forma

   

   

1. Disegnare il grafico della funzione .v Riportare il valore di sull’asse delle ascisse.

 

2. Considerare le successioni di punti

      

   tale che sono punti appartenenti al grafico della funzione e sono punti della bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Allora l’ascissa del punto è l’elemento -esimo della successione definita per ricorrenza. In questo modo è possibile osservare graficamente il carattere della successione e l’eventuale convergenza a un punto fisso della funzione .

Esempio 13.9 (sezione aurea). Consideriamo la successione di Fibonacci studiata nell’esempio 13.3 e definiamo una nuova successione come

(213)  

Poiché per ogni , si ha

(214)  

Ricordando che , è quindi la successione definita per ricorrenza da

(215)  

È possibile mostrare per induzione che per ogni e quindi ciò mostra anche che è ben definito per ogni .

Studiamo la seguente disuguaglianza per :

(216)  

e l’uguaglianza vale se e solo se . In virtù di (211), in particolare ciò mostra che, se ha limite finito, allora esso è necessariamente pari a .

Proviamo ora che

(217)  

Infatti, . Inoltre, se , allora

(218)  

dove si è sfruttato che è la soluzione dell’equazione . Analogamente si prova che, se , allora vale . Osserviamo che la successione dei termini pari è decrescente, infatti per ogni si ha

(219)  

Poiché la successione è decrescente e limitata dal basso da , essa ha limite per il teorema 5.3. Gli stessi calcoli di (219) mostrano che

(220)  

La funzione è continua in , quindi passando al limite per nella precedente relazione si ottiene

(221)  

Poiché per si ha

(222)  

segue che . Dunque la sottosuccessione dei termini di indice pari ha limite .

Usando , il teorema ponte 12.1 e la continuità di implicano che anche la sottosuccessione dei termini dispari abbia limite e che vale

(223)  

Dato che anche la sottosuccessione dei termini di indice dispari ha limite , l’intera successione converge a .

In questa sezione affrontiamo esercizi sul calcolo di limiti di successione che sfruttano i risultati dei paragrafi precedenti.

L’insieme è costituito dai termini della successione . La successione è strettamente decrescente e proviamo che da ciò segue che l’unico punto di accumulazione di è il limite della successione, pari a . Esso è infatti di accumulazione per in virtù della proposizione 3.18, in quanto la successione in converge a . Sia ora e proviamo che esso non è di accumulazione per . A tal fine, distinguiamo alcuni casi.

   

• . Poiché l’intorno non contiene alcun punto di , quindi è esterno ad .

 

• . Si ha per qualche . Poiché la successione degli è decrescente, l’intorno di non contiene alcun punto di al di fuori di .

 

• . Se , allora per la monotonia di , l’intorno di non contiene alcun punto di . Se invece , questo insieme è un intorno di disgiunto da .

Sappiamo che e che dall’esempio 3.9; quindi il limite (225) è una forma indeterminata .

Raccogliendo otteniamo

   

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo sfruttato il risultato dell’esempio 10.7.

In questo caso possiamo applicare a il limite notevole

   

mostrato nella proposizione 7.7 e ottenere

   

Sappiamo che la successione è limitata:

   

quindi

   

Allora

   

Per l’esempio 8.7, si ha

   

allora per il teorema 5.8 possiamo concludere che

   

Raccogliamo sia al numeratore che al denominatore e otteniamo

   

Poiché le successioni e sono limitate, mentre è infinitesima, allora per il teorema 4.6 sappiamo che

   

e analogamente che

   

Quindi

   

In questo caso al numeratore abbiamo una forma indeterminata del tipo e per funzioni irrazionali di questo tipo una tecnica molto utile è la razionalizzazione del numeratore.

   

Poiché sia che sono somma di termini positivi ( è positivo), si ha

   

Ora cerchiamo di determinare delle semplici successioni asintotiche al numeratore e al denominatore. Sia per il numeratore che per il denominatore è possibile sfruttare l’esempio 10.2

   

• 

 

• ;

 

• ;

 

• ;

Per il principio di sostituzione 3 del teorema 10.9 possiamo concludere che

   

Proponiamo due svolgimenti: uno molto breve che usa il teorema dei carabinieri e un altro che fa uso delle proprietà della funzione esponenziale.

Osserviamo che

   

Per gli esempi 8.7 e 9.8 il membro di destra converge a 1. Dal teorema 5.8 otteniamo che .

Dalla definizione di logaritmo, possiamo riscrivere la successione come

   

Concentriandoci sull’andamento dell’esponente possiamo dedurre che

   

per l’esempio 9.7. Allora per la continuità della funzione esponenziale e il teorema 12.1 possiamo concludere che

   

Dalla definizione di tangente

   

dove abbiamo utilizzato

   

per il punto 1 dell’esempio 12.2.

Per trattare la forma indeterminata , consideriamo i due limiti notevoli 1 e 2 dell’esempio 12.2 per con definitivamente:

   

Moltiplichiamo e dividiamo per e otteniamo:

   

Scomponiamo in e applichiamo i limiti notevoli:

   

Poiché per il teorema 12.1 e per la continuità della funzione esponenziale, il limite (226) è una forma indeterminata .

L’idea è di sfruttare il limite notevole visto in 12.2

   

valido per ogni successione infinitesima con definitivamente. Grazie all’identità e alle proprietà dei logaritmi, otteniamo