Massimi e minimi liberi numero 8

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia

$f(x,y)= x^2y^3(6-x-y)$

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

$f_x(x,y)=2x \, y^3 \, (6-x-y) - x^2 \, y^3 = xy^3 (12-3x-2y)$

$f_y(x,y)= 3y^2 \, x^2 (6-x-y) - x^2 \, y^3 = x^2 \, y^2 (18-3x-4y).$

Imponiamo $\nabla f(x,y)=(0,0)$ , cioè

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} xy^3 (12-3x-2y)=0\\ x^2 \, y^2 (18-3x-4y)=0 \end{cases} \end{equation*}$

da cui, una soluzione immediata è $(0,0)$ , mentre le altre eventuali soluzioni si trovano con

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} 12-3x-2y=0\\ 18-3x-4y=0. \end{cases} \end{equation*}$

Sottraendo, membro a membro delle due equazioni del sistema, otteniamo

$12-3x-2y-18+3x+4y=0 \quad \Leftrightarrow \quad y=3,$

per cui

$\begin{cases} y=3\\ -3x +6=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} y=3\\ x=2. \end{cases}$

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano $\nabla f(x,y)=(0,0)$ e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

$\begin{aligned} & \text{det}H(x,y)= \begin{vmatrix} y^3(12-3x-2y)-3xy^3 & 3xy^2(12-3x-2y)-2xy^3\\ 2xy^2 (18-3x-4y)-3x^2y^2 & 2x^2y (18-3x-4y) -4x^2y^2 \end{vmatrix}= \\\\ & =\begin{vmatrix} -2y^3(-6+3x+y) & xy^2(36-9x-8y)\\ xy^2 (36-9x-8y) & -6x^2y (-6+x+2y) \end{vmatrix} =\\ &=\left(-2y^3(-6+3x+y)\right)\left(-6x^2y (-6+x+2y)\right)-\left( xy^2(36-9x-8y)\right)\left(xy^2 (36-9x-8y)\right)=\\ &=12x^2y^4\left(3x+y-6\right)\left(x+2y-6\right)-x^2y^4\left(-9x-8y+36\right)^2-8. \end{aligned}$

Si osserva immediatamente che

$H(0,0) = 0;$

pertanto, per ora, non possiamo concludere nulla sulla natura del punto $(0,0)$ ; inoltre, si ha

$H(2,3)=12(4)(3)^4(3(2)+3-6)(2+6-6)-4(3^4)(-9(2)-8(3)+36)^2=11664 > 0.$

Ora, ricordando che

$f_{xx}(x,y)=\dfrac{d^2f}{dx^2}(x,y)=-2y^3(-6+3x+y),$

si ottiene

$f_{xx}(2,3)=-2(3^3)(-6+3(2)+3)=-162<0.$

Dunque, sfruttando quanto ottenuto, concludiamo che

$\begin{aligned} & \mbox{$H(2,3) = 11664 > 0 \wedge f_{xx}<0 \Rightarrow (2,3)$ è un punto di massimo relativo dove $f(2,3)=108$.} \end{aligned}$

Studiamo $f(x,y)>0$ . Si ha

$\begin{aligned} &x^2>0\quad \Leftrightarrow\quad \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,y)\in\mathbb{R}\};\\ &y^3>0\quad \Leftrightarrow\quad y>0; \\ &6-x-y>0\quad \Leftrightarrow \quad y<6-x, \end{aligned}$

da cui, si ottiene il seguente studio del segno

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Dal grafico, è facile dedurre che per ogni intorno circolare di raggio $\delta$ , avente centro in $(0,0)$ , la funzione $f$ assume valori sia di segno positivo e negativo. Dunque, quanto ottenuto ci permette di concludere che il punto $(0,0)$ per $f$ è un punto di sella, dove $f(0,0)=0$ .
Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \begin{aligned} & \mbox{$\text{det}H(A)=4>0 \wedge f_{xx}=2 > 0 \Rightarrow A$ è punto di minimo relativo};\\ &\mbox{$\text{det}H(B)=4>0 \wedge f_{xx}=-2 < 0 \Rightarrow B$ è punto di massimo relativo};\\ & \mbox{$\text{det}H(C)=4>0 \wedge f_{xx}=-2 < 0 \Rightarrow C$ è punto di massimo relativo};\\ &\mbox{$\text{det}H(D)=4>0 \wedge f_{xx}=2 > 0 \Rightarrow D$ è punto di minimo relativo}.\\ \end{aligned}}$

Fonte: L. Vesely – Università degli studi di Milano