Massimi e minimi liberi numero 7

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)=3x^4-6x^3+y^3+4x^2+3y\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y)= 12x^3 - 18x^2 + 8x\]

e

    \[f_y(x,y)= 3y^2 + 3.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 12x^3 - 18x^2 + 8x = 0\\ 3y^2 + 3=0. \end{cases} \end{equation*}

Si osserva che non esiste y reale tale che 3y^2+3=0, quindi il sistema è impossibile; da cui, non essendoci candidati come punti di massimo, minimo o di sella, si conclude che non esistono punti estremanti o di sella per f.

 

Fonte: ignota.