Massimi e minimi liberi numero 6

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)=(5x-10)^2-8y^2\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y)= 10(5x-10) = 50x - 100\]

e

    \[f_y(x,y)=-16y.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 50x - 100=0\\ -16y=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=2\\ y=0 \end{cases} \end{equation*}

per cui la soluzione del sistema (1) è (2,0).
I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det}H(2,0)= \begin{vmatrix} 50 & 0 \\ 0 & -16 \end{vmatrix} = -800<0\]

concludendo che (2,0) è punto di sella essendo il determinante della matrice negativo. In particolare f(2,0)=0.

 

Fonte: ignota.